《微分方程模型与混沌》

第一篇微分方程基础1

1 微分方程的一般理论与解法2

1.1 微分方程的基本概念2

1.2 微分方程的适定性理论11

1)Cauchy问题的存在唯一性定理13

2)初值问题和边值问题的存在性定理18

3)解的延拓32

4)解对参数与初值的连续性与可微性37

1.3 常系数线性微分方程的代数解法44

1)线性常微分方程组解集合的代数结构与解法44

2)线性常微分方程式解集合的代数结构与解法60

1.4 常微分方程的分析解法81

1)分离变量法81

2)一阶线性方程89

3)积分因子解法93

4)一阶隐式方程的解法100

5)降阶法104

6)奇解107

7)首次积分法112

8)级数解法116

9)拉普拉斯(Laplace)变换解法128

1.5 二阶线性方程边值问题与振荡理论132

1)斯特姆-刘维尔(Sturm-Liouville)边值问题的特征值与特征函数132

2)特征函数系的正交性和广义傅氏展开138

3)极值原理与边值问题解的唯一性139

4)斯特姆(Sturm)振荡理论145

1.6 周期系数的二阶线性方程151

习题158

2 微分方程模型的定性分析方法180

2.1 运动稳定性180

1)李雅普诺夫稳定性概念181

2)稳定性的线性近似判别法182

3)稳定性的李雅普诺夫函数判别法188

1)平面自治系统奇点与轨线的一般概念和性质197

2.2 平面自治系统的奇点和轨线197

2)线性常系数平面自治系统的奇点200

3)非线性平面自治系统的初等奇点206

4)齐次干扰系统的奇点218

2.3 平面自治系统的极限集和极限环229

1)平面自治系统的极限集229

2)平面自治系统的极限环243

3)参数变化引起的极限环的生消与胀缩259

2.4 无穷远奇点与全局相图267

2.5 结构稳定性276

习题281

第二篇科学技术当中的微分方程模型292

1 综合国力的微分方程模型292

1.1 数学建模293

1.2 数学分析295

1.3 社会意义299

1.4 参数估计302

2.1 诱发投资与加速发展的微分方程模型303

2 市场经济中的微分方程模型303

2.2 经济调整的微分方程模型306

2.3 广告的微分方程模型309

2.4 价格的微分方程模型311

1)供给、需求与物价的线性微分方程模型311

2)平抑物价的微分方程模型313

3)物价的差分方程模型315

4)物价的非线性微分方程模型318

3.1 军备竞赛的微分方程模型325

3 战争中的微分方程模型325

3.2 战争的微分方程模型326

3.3 战斗中生存可能性的微分方程模型332

4 人口与动物世界的微分方程模型335

4.1 单种群模型和人口问题335

4.2 进行开发的单种群模型336

4.3 弱肉强食模型339

4.4 两个物种在同一生态龛中的竞争排斥模型342

4.5 无管理的鱼类捕捞模型346

5.1 艾滋病流行的微分方程模型350

5 疾病的传染与诊断的微分方程模型350

5.2 糖尿病诊断的微分方程模型359

5.3 人体内碘的微分方程模型362

6 若干实用曲线的微分方程模型365

6.1 速降线的微分方程模型365

6.2 悬链线的微分方程模型368

6.3 盯梢与追击问题的微分方程模型371

7 航空航天器运动的微分方程模型378

7.1 人造卫星运动的微分方程模型378

7.2 航空航天器翻滚控制的微分方程模型383

8 振动的微分方程模型385

8.1 线性振动的微分方程模型385

8.2 非线性振动的微分方程模型389

9 RLC电路自激振荡的微分方程模型399

9.1 非线性RLC电路的Lienard方程模型399

9.2 三极电子管电路的Van der Pol方程模型404

10.1 问题407

10 多分子反应的微分方程模型407

10.2 (a,b;3,1)的奇点408

10.3 (a,b;3,1)的Hopf分叉411

10.4 (a,b;3,1)的旋转向量场和极限环的存在性与不存在性413

10.5 (a,b;1,3),(a;3,1)和(a;1,3)414

10.6 推广414

1)奇点415

2)旋转向量场416

3)细焦点的判定与Hopf分叉417

4)Dulac函数418

5)主要结论418

习题419

第三篇非线性微分方程模型中的混沌429

1 混沌的数学基础431

1.1 Bernoulli移位映射σ的混沌表现431

1)σ对初值微小变化的极端敏感依赖性432

2)σ的随机性432

3)σ的遍历性432

4)σ的周期点433

1.2 蒙古包与三角帐篷映射的混沌表现434

1)x？=？n(1-xn)对初值的敏感依赖性和内在随机性434

2)λ=4时，蒙古包映射化成三角帐篷映射435

3)三角帐篷映射的内在随机性、对初值的敏感依赖性和周期性437

4)一般连续映射周期点的沙可夫斯基(Sarkovski)定理440

1.3 度量混沌的Lyapunov指数441

1.4 符号空间中的移位映射，Li-York混沌和Devaney混沌443

1)符号空间中的移位映射443

2)离散动力系统(∑(N),σ)和(∑(Z),σ)444

3)Devaney混沌与Li-Yorke混沌446

1.5 面包师变换、分数维和奇怪吸引子449

1)面包师变换449

2)面包师变换的不变集合及其分数维450

3)奇怪吸引子452

1.6 Smale马蹄452

1.7 二维映射双曲点造成的马蹄型混沌455

2.1 周期脉冲下转子的微分方程模型458

2 周期脉冲下转子的微分方程模型和依侬映射的混沌表现458

2.2 依侬映射及其混沌表现459

3 Lorenz方程与长期预报的不可能性465

3.1 Lorenz方程465

3.2 Lorenz方程的轨线和混沌表现466

4 Hamilton系统和KAM定理473

4.1 平面Hamilton系统473

4.2 n个自由度的Hamilton系统474

4.3 KAM定理478

5.1 Melnikov函数484

5 平面Hamilton系统微扰后混沌的解析判据484

5.2 Duffing方程受弱周期强迫时的混沌运动489

5.3 超导约瑟夫森(B.D.Josephson)结的方程模型及其混沌表现491

5.4 催化反应Flickering振颤现象的方程模型及其混沌表现492

5.5 生态系统的方程模型及其混沌表现494

5.6 冠状动脉的方程模型及其混沌表现495

5.7 环面上Van der Pol方程中的混沌解498

习题500

参考文献502