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序言1

第一章 复变解析函数1

1.1 虚数的产生，i的引入1

1.2 复数及其几何表示3

1°. 复数概念3

2°. 复数在平面上的表示6

3°. 无穷远点11

4°. 复数在球面上的表示12

5°. 球极平面投影变换公式14

习题(1.1)15

1.3 平面点集17

1°. 邻域和开集合18

2°. 凝聚点，孤立点18

3°. 两集合间的距离、集合的直径19

4°. B.-W.定理、H.-B.定理19

5°. Jordan曲线21

6°. 区域22

1.4 复变函数23

1°. 函数概念24

2°. 极限27

3°. 连续性30

4°. 一致连续性32

1.5 解析函数及C.-R.方程33

1°. 导数33

2°. 解析函数34

3°. C.-R.方程35

习题(1.2)40

第二章 初等复变函数42

2.1 初等代数函数和初等超越函数43

1°. 代数函数和代数显函数43

2°. 超越函数和初等超越函数44

2.2 单叶解析函数45

2.3 幂函数w=zn与根式函数45

1°. 幂函数w=zn，n为正整数45

2°. 根式函数w=？，z≠0，n为大于1的整数48

3°. 函数w=？51

2.4 函数w=？及其反函数54

2.5 指数函数与对数函数57

1°. 指数函数ez57

2°. 对数函数Lnz60

2.6 三角函数和反三角函数64

1°. 三角函数64

2°. 反三角函数68

3°. 双曲函数与反双曲函数69

2.7 一般的指数函数和幂函数71

1°. 任意指数的幂71

2°. 一般的指数函数az,a≠073

3°. 一般的幂函数z?,z≠0,μ是任意的复数73

习题(2.1)75

第三章 复变函数积分和Cauchy理论77

3.1 复变函数积分及其基本性质77

1°. 复变函数积分概念和基本性质77

2°. 复变函数积分的计算举例82

习题(3.1)85

3.2 Cauchy积分定理86

1°. Cauchy积分定理及其Goursat证明87

2°. Cauchy定理(复连通区域的情形)96

3°. 不定积分98

4°. 再论对数函数的定义101

3.3 Cauchy积分公式104

1°. Cauchy积分公式(边唯一性定理)104

2°. Cauchy积分公式的推论107

3°. Cauchy积分公式的推广108

4°. 最大模原理109

3.4 高阶导函数的存在111

1°. 解析函数的无穷可微性111

2°. Morera定理及Goursat定理114

3°. Cauchy不等式与Liouville定理115

4°. 代数基本定理的证明116

习题(3.2)117

第四章 解析函数的级数表达式120

4.1 函数项级数的基本性质120

1°. 常数项级数120

2°. 函数项级数的一致收敛性122

3°. Weierstrass定理123

4.2 解析函数的幂级数表达式126

1°. 幂级数和Abel定理126

2°. 幂级数的收敛半径127

3°. 幂级数和函数的解析性129

4°. 解析函数的幂级数展开式和唯一性130

5°. 解析函数展开成幂级数的方法举例135

4.3 用多项式逼近函数138

1°. 解析函数用多项式来逼近139

2°. 解析函数的封闭性141

3°. 关于解析函数的等价定义142

4.4 内部唯一性定理、零点的孤立性142

1°. 解析函数内部唯一性定理143

2°. 解析函数零点的孤立性146

习题(4.1)148

4.5 解析函数的Laurent级数表达式151

1°. Laurent级数151

2°. 解析函数的Laurent展开式153

3°. 函数在无穷远点的Laurent展开式157

4.6 解析函数在其孤立奇点邻域内的性质158

1°. 孤立奇点的分类158

2°. 解析函数在孤立奇点邻域的性质160

3°. 有理函数的奇点165

4.7 整函数与亚纯函数167

1°. 整函数167

2°. 亚纯函数171

习题(4.2)173

第五章 留数理论与应用175

5.1 留数基本定理175

1°. 函数在有限远点的留数175

2°. 留数基本定理182

3°. 函数在无穷远点的留数184

习题(5.1)186

5.2 围道积分187

1°. 形如？R(x)dx的积分的计算188

2°. 形如？R(sinx,cosx)dx的积分的计算192

3°. 形如？R(x)eimxdx(m>0)的积分的计算194

5.3 辐角原理、Rouché定理198

1°. 对数留数198

2°. 辐角原理200

3°. Rouché定理202

4°. Rouché定理的应用204

习题(5.2)206

第六章 共形映射209

6.1 共形映射概念209

1°. 解析函数的保域性210

2°. 导函数的模与辐角的几何意义211

3°. 共形映射概念213

4°. 共形映射与解析函数之间的关系214

5°. 第二类共形映射216

6.2 单叶解析函数的映射性质219

1°. 共形保域性219

2°. 反函数的存在及其解析性220

3°. 几个初等函数所构成的共形映射223

6.3 Riemann映射定理226

1°. 共形映射的基本问题226

2°. Riemann映射定理227

3°. 边界对应定理228

6.4 分式线性映射230

1°. 分式线性映射的共形性230

2°. 分式线性映射的保圆性和对称点的不变性233

3°. 唯一确定分式线性映射的条件236

4°. 某些典型区域的共形映射239

1)上半平面到上半平面的共形映射240

2)上半平面到单位圆内部的映射240

3)单位圆域到单位圆域的共形映射241

4)圆域△R=｛z:|z|242

习题(6.1)245

6.5 简单区域间的共形映射举例246

1°. 复合映射246

2°. 简单区域间的共形映射举例250

习题(6.2)255

第七章 解析开拓与初等多值函数257

7.1 解析开拓258

1°. 解析开拓概念258

2°. 来自实轴上的解析开拓261

3°. 解析开拓的幂级数方法264

4°. 沿连续曲线的解析开拓266

5°. 奇点和自然边界267

7.2 对称原理268

1°. Painlevé原理268

2°. 对称原理270

7.3 多角形映射277

1°. Schwarz-Christoffel公式277

2°. 两种特殊情况280

3°. Schwarz-Christoffel公式的证明282

7.4 初等多值函数286

1°. 多值函数概念286

2°. 支点和支割线288

7.5 Riemann面290

习题(7.1)296

第八章 复变函数理论在其他领域上的应用298

8.1 调和函数298

1°. 调和函数与解析函数的关系299

2°. Poisson积分与调和函数的基本性质301

3°. Laplace方程的边值问题306

8.2 复变解析函数的物理意义和应用311

1°. 复势312

1) 平面场312

2) 环流量与复速度313

3) 源(汇)点、涡点315

4) 复势316

2°. 共形映射在求流动复势时的作用317

3°. 飞机翼断面的绕流问题及升力的计算319

附录Ⅰ 多复变函数326

1°. 基本定义326

2°. 多复变解析函数概念327

3°. Cauchy积分公式328

4°. 幂级数329

5°. Taylor级数331

附录Ⅱ 复数域的函数逼近334

Ⅱ.1 解析函数的逼近336

1°. 用有理函数逼近有理函数的逼近336

2°. Runge定理340

Ⅱ.2 多项式插值347