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序言1

第一章复变解析函数1

1.1 虚数的产生，i的引入1

1.2 复数及其几何表示3

1°.复数概念3

2°.复数在平面上的表示6

3°.无穷远点11

4°.复数在球面上的表示12

5°.球极平面投影变换公式14

习题(1.1)15

1.3 平面点集17

1°.邻域和开集合18

2°.凝聚点、孤立点18

3°.两集合间的距离、集合的直径19

4°.B.-W.定理、H.-B.定理19

5°.Jordan 曲线21

6°.区域22

1.4 复变函数23

1°.函数概念24

2°.极限27

3°.连续性30

4°.一致连续性32

1°.导数33

1.5 解析函数与 C.-R.方程33

2°.解析函数34

3°.C.-R.方程35

习题(1.2)40

第二章初等复变函数42

2.1 初等代数函数和初等超越函数43

1°.代数函数和代数显函数43

2°.超越函数和初等超越函数44

2.2 单叶解析函数45

2.3 幂函数 w=zn 与根式函数45

1°.幂函数 w=zn，n 为正整数45

2°.根式函数 w=?，z≠0,n 为大于1的整数48

3°.函数 w=1/z51

2.4 函数 w=z2+1/2z及其反函数54

2.5 指数函数与对数函数57

1°.指数函数 ez57

2°.对数函数 Lnz60

2.6 三角函数和反三角函数64

1°.三角函数64

2°.反三角函数68

3°.双曲函数与反双曲函数69

2.7 一般的指数函数和幂函数71

1°.任意指数的幂71

3°.一般的幂函数 zμ,z≠0,μ 是任意的复数73

2°.一般的指数函数 az,a≠073

习题(2.1)75

第三章复变函数积分和 Cauchy 理论77

3.1 复变函数积分及其基本性质77

1°.复变函数积分概念和基本性质77

2°.复变函数积分的计算举例82

习题(3.1)85

3.2 Cauchy 积分定理86

1°.Cauchy 积分定理及其 Goursat 证明87

2°.Cauchy 定理(复连通区域的情形)96

3°.不定积分98

4°.再论对数函数的定义101

1°.Cauchy 积分公式(边唯一性定理)104

3.3 Cauchy 积分公式104

2°.Cauchy 积分公式的推论107

3°.Cauchy 积分公式的推广108

4°.最大模原理109

3.4 高阶导函数的存在111

1°.解析函数的无穷可微性111

2°.Morera 定理及 Goursat 定理114

3°.Cauchy 不等式与 Liouville 定理115

4°.代数基本定理的证明116

习题(3.2)117

1°.常数项级数120

第四章解析函数的级数表达式120

4.1 函数项级数的基本性质120

2°.函数项级数的一致收敛性122

3°.Weierstrass 定理123

4.2 解析函数的幂级数表达式126

1°.幂级数和 Abel 定理126

2°.幂级数的收敛半径127

3°.幂级数和函数的解析性129

4°.解析函数的幂级数展开式和唯一性130

5°.解析函数展开成幂级数的方法举例135

4.3 用多项式逼近函数138

1°.解析函数用多项式来逼近139

2°.解析函数的封闭性141

3°.关于解析函数的等价定义142

4.4 内部唯一性定理、零点的孤立性142

1°.解析函数内部唯一性定理143

2°.解析函数零点的孤立性146

习题(4.1)148

4.5 解析函数的 Laurent 级数表达式151

1°.Laurent 级数151

2°.解析函数的 Laurent 展开式153

3°.函数在无穷远点的 Laurent 展开式157

1°.孤立奇点的分类158

4.6 解析函数在其孤立奇点邻域内的性质158

2°.解析函数在孤立奇点邻域的性质160

3°.有理函数的奇点165

4.7 整函数与亚纯函数167

1°.整函数167

2°.亚纯函数171

习题(4.2)173

第五章留数理论与应用175

5.1 留数基本定理175

1°.函数在有限远点的留数175

2°.留数基本定理182

3°.函数在无穷远点的留数184

习题(5.1)186

5.2 围道积分187

1°.形如?R(x)ｄx 的积分的计算188

2°.形如?R(sinx,cosx)ｄx 的积分的计算192

3°.形如?R(x)eimxｄx(m＞0)的积分的计算194

5.3 辐角原理、Rouché 定理198

1°.对数留数198

2°.辐角原理200

3°.Rouché 定理202

4°.Rouché 定理的应用204

习题(5.2)206

6.1 共形映射概念209

第六章共形映射209

1°.解析函数的保域性210

2°.导函数的模与辐角的几何意义211

3°.共形映射概念213

4°.共形映射与解析函数之间的关系214

5°.第二类共形映射216

6.2 单叶解析函数的映射性质219

1°.共形保域性219

2°.反函数的存在及其解析性220

3°.几个初等函数所构成的共形映射223

1°.共形映射的基本问题226

6.3 Riemann 映射定理226

2°.Riemann 映射定理227

3°.边界对应定理228

6.4 分式线性映射230

1°.分式线性映射的共形性230

2°.分式线性映射的保圆性和对称点的不变性233

3°.唯一确定分式线性映射的条件236

4°.某些典型区域的共形映射239

1)上半平面到上半平面的共形映射240

2)上半平面到单位圆内部的映射240

3)单位圆域到单位圆域的共形映射241

4)圆域△R={z：|z|＜R}变到单位圆域△1={z：|z|＜1}的共形映射242

习题(6.1)245

1°.复合映射246

6.5 简单区域间的共形映射举例246

2°.简单区域间的共形映射举例250

习题(6.2)255

第七章解析开拓与初等多值函数257

7.1 解析开拓258

1°.解析开拓概念258

2°.来自实轴上的解析开拓261

3°.解析开拓的幂级数方法264

4°.沿连续曲线的解析开拓266

5°.奇点和自然边界267

1°.Painlevé 原理268

7.2 对称原理268

2°.对称原理270

7.3 多角形映射277

1°.Schwarz-Christoffel 公式277

2°.两种特殊情况280

3°.Schwarz-Christoffel 公式的证明282

7.4 初等多值函数286

1°.多值函数概念286

2°.支点和支割线288

7.5 Riemann 面290

习题(7.1)296

8.1 调和函数298

第八章复变函数理论在其他领域上的应用298

1°.调和函数与解析函数的关系299

2°.Poisson 积分与调和函数的基本性质301

3°.Laplace 方程的边值问题306

8.2 复变解析函数的物理意义和应用311

1°.复势312

1)平面场312

2)环流量与复速度313

3)源(汇)点、涡点315

4)复势316

2°.共形映射在求流动复势时的作用317

3°.飞机翼断面的绕流问题及升力的计算319

附录Ⅰ多复变函数326

1°.基本定义326

2°.多复变解析函数概念327

3°.Cauchy 积分公式328

4°.幂级数329

5°.Taylor 级数331

附录Ⅱ复数域的函数逼近334

Ⅱ.1 解析函数的逼近336

1°.用有理函数逼近有理函数的逼近336

2°.Runge 定理340

Ⅱ.2 多项式插值347