《工程数学 复变函数》

第一章 复数与复变函数1

1 复数及其代数运算1

1. 复数的概念1

2. 复数的代数运算1

前言1

引言2

2 复数的几何表示3

1. 复数的各种表示法3

2. 关于模与辐角的定理8

3. 方根10

1. 区域的概念11

3 区域11

2. 单连域与多连域13

4 复变函数14

1. 复变函数的定义14

2. 映射的概念15

5 复变函数的极限和连续性17

1. 函数的极限17

2. 函数的连续性19

第一章习题20

1 解析函数的概念23

1. 复变函数的导数23

第二章 解析函数23

2. 解析函数的概念25

2 函数的解析的充要条件27

3 解析函数与调和函数的关系31

4 初等函数35

1. 复数项级数的概念35

2. 指数函数38

3. 三角函数和双曲函数39

4. 对数函数42

5. 乘幂ab与幂函数43

6. 反三角函数与反双曲函数45

1. 用复变函数表示平面向量场46

5 平面场的复势46

2. 平面流速场的复势47

3. 静电场的复势52

第二章习题55

第三章 复变函数的积分58

1 复变函数积分的概念58

1. 积分的定义58

2. 积分存在的条件及其计算法59

3. 性质61

2 柯西-古萨基本定理63

3 基本定理的推广--复合闭路定理67

4 柯西积分公式70

5 解析函数的高阶导数72

第三章习题75

第四章 级数77

1 复变函数项级数77

1. 幂级数77

2. 收敛圆与收敛半径78

3. 收敛半径的求法79

2 泰勒级数82

3 罗伦级数86

第四章习题93

1. 可去奇点96

第五章 留数96

1 孤立奇点96

2. 极点97

3. 本性奇点97

4. 函数的零点与极点的关系98

2 留数100

1. 留数的定义及留数定理100

2. 留数的计算规则101

3 留数在定积分计算上的应用104

1. 形如？R(cosθ,sinθ)dθ的积分105

2. 形如？R(x)dx的积分106

3. 形如？R(x)eaixdx(a>0)的积分108

1. 对数留数110

4 对数留数与辐角原理110

2. 辐角原理112

3. 路西定理113

第五章习题115

第六章 保角映射117

1. 切线倾角的复数表示117

2. 解析函数的导数的几何意义118

2 分式线性映射120

3. 保角映射的概念120

3 唯一决定分式线性映射的条件124

4 几个初等函数所构成的映射130

1. 幂函数w=zn(n是不小于2的自然数)130

2. 指数函数w=ez134

3. 儒可夫斯基函数137

4. 圆柱绕流问题139

5 关于保角映射的几个一般性定理141

6 许瓦尔兹-克力斯托夫映射143

7 拉普拉斯方程的边值问题153

第六章习题158

附录 区域的变换表164

习题答案169

1 保角映射的概念177