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第一章复数与复变函数2

§1 复数及其代数运算2

1．复数的概念2

2．复数的代数运算2

§2 复数的几何表示4

1．复平面4

2．复球面10

§3 复数的乘幂与方根12

1．乘积与商12

2．幂与根15

§4 区域17

1．区域的概念17

2．单连通域与多连通域19

§5 复变函数21

1．复变函数的定义21

2．映射的概念22

§6 复变函数的极限和连续性25

1．函数的极限25

2．函数的连续性28

小结29

第一章 习题31

第二章解析函数35

§1 解析函数的概念35

1．复变函数的导数与微分35

2．解析函数的概念38

§2 函数解析的充要条件40

1．指数函数45

§3 初等函数45

2．对数函数46

3．乘幂ab与幂函数48

4．三角函数和双曲函数50

5．反三角函数与反双曲函数52

§4 平面场的复势53

1．用复变函数表示平面向量场53

2．平面流速场的复势54

3．静电场的复势59

小结62

第二章 习题66

1．积分的定义69

第三章复变函数的积分69

§1 复变函数积分的概念69

2．积分存在的条件及其计算法71

3．积分的性质74

§2 柯西－古萨（Cauchy-Goursat）基本定理75

§3 基本定理的推广——复合闭路定理77

§4 原函数与不定积分80

§5 柯西积分公式84

§6 解析函数的高阶导数86

§7 解析函数与调和函数的关系90

小结95

第三章 习题99

§1 复数项级数105

1．复数列的极限105

第四章级数105

2．级数概念106

§2 幂级数109

1．幂级数概念109

2．收敛圆与收敛半径110

3．收敛半径的求法112

4．幂级数的运算和性质114

§3 泰勒级数117

§4 洛朗级数124

小结137

第四章 习题142

第五章留数145

§1 孤立奇点145

1．可去奇点146

2．极点147

3．本性奇点147

4．函数的零点与极点的关系148

5．函数在无穷远点的性态150

§2 留数153

1．留数的定义及留数定理153

2．留数的计算规则156

3．在无穷远点的留数160

§3 留数在定积分计算上的应用163

1．形如∫2x0R(cosθ,sinθ)dθ的积分163

2．形如∫∞-∞R(x)dx的积分164

3．形如∫∞-∞R(x)eaixdx(a＞0)的积分167

1．对数留数172

§4 对数留数与辐角原理172

2．辐角原理173

3．路西（Rouché）定理175

小结178

第五章 习题183

第六章共形映射186

§1 共形映射的概念186

1．解析函数的导数的几何意义187

2．共形映射的概念190

§2 分式线性映射191

1．保角性195

2．保圆性196

3．保对称性197

§3 唯一决定分式线性映射的条件198

§4 几个初等函数所构成的映射208

1．幂函数w=zn（n≥2为自然数）208

2．指数函数w=ez213

3．儒可夫斯基函数216

§5 关于共形映射的几个一般性定理222

§6 施瓦茨－克里斯托费尔（Schwarz-Christoffel）映射223

§7 拉普拉斯方程的边值问题234

小结239

第六章 习题245

附录Ⅰ 参考书目250

附录Ⅱ 区域的变换表251

习题答案257

名词索引267