《微积分和数学分析引论 第2卷 第1分册》求取 ⇩

序言1

第一章 多元函数及其导数1

1.1 平面和空间的点和点集1

a.点的序列：收敛性1

练习2

b.平面上的点集3

c.集合的边界。闭集与开集6

d.闭包作为极限点的集合8

e.空间的点与点集9

练习1.110

问题1.111

1.2 几个自变量的函数11

a.函数及其定义域11

b.最简单的函数12

c.函数的几何表示法13

练习1.215

1.3 连续性17

a.定义17

b.多元函数的极限概念19

c.无穷小函数的阶22

练习*1.324

问题*1.327

1.4 函数的偏导数27

a.定义.几何表示27

练习1.4a31

问题1.4a33

b.例33

c.偏导数的连续性与存在性35

练习1.4c36

d.微分次序的改变37

练习1.4d40

问题1.4d40

a.可微性的概念41

1.5 函数的全微分及其几何意义41

练习1.5a43

b.方向导数44

问题1.5a44

练习1.5b46

c.可微性的几何解释.切平面47

练习1.5c49

d.函数的微分50

练习1.5d53

e.在误差计算方面的应用53

练习1.5e54

1.6函数的函数(复合函数)与新自变量的引入55

a.复合函数.链式法则55

练习1.6a59

问题1.6a60

b.例61

c.自变量的替换62

习题1.6c65

问题1.6c66

1.7 多元函数的中值定理与泰勒定理66

a.关于用多项式作近似的预备知识66

练习1.7a67

b.中值定理68

练习1.7b69

问题1.7b70

c.多个自变量的泰勒定理70

练习1.7c72

问题1.7c73

a.例和定义74

1.8依赖于参量的函数的积分74

b.积分关于参量的连续性和可微性76

练习1.8b81

c.积分(次序)的互换.函数的光滑化82

1.9 微分与线积分84

a.线性微分型84

b.线性微分型的线积分87

练习1.9b93

c.线积分对端点的相关性93

1.10 线性微分型的可积性的基本定理96

a.全微分的积分96

b.线性积分只依赖于端点的必要条件97

c.可积条件的不足99

d.单连通集102

e.基本定理105

附录107

A.1 多维空间的聚点原理及其应用107

a.聚点原理107

b.柯西收敛准则.紧性109

c.海涅-波瑞耳覆盖定理110

d.海涅-波瑞耳定理在开集所包含的闭集上的应用111

A.2 连续函数的基本性质113

a.集合与子集合114

A.3 点集论的基本概念114

b.集合的并与交116

c.应用于平面上的点集119

A.4 剂次函数120

第二章 向量、矩阵与线性变换123

2.1 向量的运算123

a.向量的定义123

b.向量的几何表示125

c.向量的长度，方向夹角127

d.向量的数量积131

e.超平面方程的向量形式133

f.向量的线性相关与线性方程组136

练习2.1141

a.基的变换，线性空间143

2.2 矩阵与线性变换143

b.矩阵146

c.矩阵的运算150

d.方阵.逆阵.正交阵152

练习2.2157

2.3 行列式159

a.二阶与三阶行列式159

b.向量的线性型与多线性型162

c.多线性交替型.行列式的定义166

d.行列式的主要性质169

e.行列式对线性方程组的应用173

练习2.3175

2.4 行列式的几何解释178

a.向量积与三维空间中平行六面体的体积178

b.行列式关于一列的展开式.高维向量积186

c.高维空间的平行四边形的面积与平行多面体的体积188

d.n维空间中平行多面体的定向193

e.平面与超平面的定向197

f.线性变换下平行多面体体积的改变199

2.5 分析中的向量概念202

a.向量场202

b.数量场的梯度203

c.向量场的散度和旋度206

d.向量族.在空间曲线论和质点运动中的应用209

练习*2.5212

第三章 微分学的发展和应用217

3.1 隐函数217

a.一般说明217

练习3.1a218

b.几何解释218

练习3.1b220

c.隐函数定理220

练习3.1c224

d.隐函数定理的证明224

练习3.1d227

e.多于两个自变量的隐函数定理228

练习3.1e229

3.2 用隐函数形式表出的曲线与曲面230

a.用隐函数形式表出的平面曲线230

练习3.2a234

b.曲线的奇点235

练习3.2b237

c.曲面的隐函数表示法238

练习3.2c240

3.3 函数组、变换与映射241

a.一般说明241

练习3.3a246

b.曲线坐标246

c.推广到多于两个变量的情形249

练习3.3b249

练习3.3c252

d.反函数的微商公式252

练习3.3d255

e.映射的符号乘积258

练习3.3e261

f.关于变换及隐函数组的逆的一般定理.分解成素映射262

练习3.3f267

g.用逐次逼近法迭代构造逆映射267

练习3.3g273

h.函数的相依性273

练习3.3h275

i.结束语275

练习3.3i277

a.曲面理论的要素278

3.4 应用278

练习3.4a287

b.一般保角变换288

练习3.4b290

3.5 曲线族，曲面族，以及它们的包络291

a.一般说明291

练习3.5a292

b.单参量曲线的包络293

练习3.5b296

c.例296

练习3.5c302

d.曲面族的包络304

练习3.5d306

3.6 交错微分型308

a.交错微分型的定义308

练习3.6a310

b.微分型的和与积311

练习3.6b312

c.微分型的外微商313

练习3.6c316

d.任意坐标系中的外微分型317

练习3.6d326

3.7 最大与最小326

a.必要条件326

b.例329

练习3.7b331

c.带有附加条件的最大与最小332

d.最简单情形下不定乘数法的证明336

练习3.7c336

练习3.7d338

e.不定乘数法的推广339

练习3.7e342

f.例343

练习3.7f346

附录348

A.1 极值的充分条件348

练习 A.1353

A.2 临界点的个数与向量场的指数355

练习 A.2362

A.3 平面曲线的奇点362

练习 A.4365

练习 A.3365

A.4 曲面的奇点365

A.5 流体运动的欧拉表示法与拉格朗日表示法之间的联系366

练习 A.5367

A.6 闭曲线的切线表示法与周长不等式367

练习 A.6369

解答370

第四章 多重积分453

4.1 平面上的面积453

a.面积的若当测度的定义453

b.一个没有面积的集合456

c.面积的运算法则458

a.作为体积的二重积分460

练习4.1460

4.2 二重积分460

b.积分的一般分析概念462

c.例466

d.记号、推广、基本法则468

e.积分估计与中值定理469

4.3 三维及高维区域上的积分472

4.4 空间微分、质量与密度473

4.5 化重积分为累次单积分474

a.在矩形上的积分474

b.积分交换次序.积分号下求微分477

c.在更一般的区域上化二重积分为单重积分478

d.在多维区域中的推广482

a.平面上的积分变换484

4.6 重积分的变换484

b.高于二维的区域489

练习4.6490

4.7 广义多重积分492

a.有界集上函数的广义积分493

b.广义积分一般收敛定理的证明497

c.无界区域上的积分499

练习4.7502

4.8 在几何中的应用503

a.体积的初等计算503

b.体积计算的一般性附注.旋转体在球坐标系中的体积505

c.曲面的面积507

练习4.8515

a.矩和质心516

4.9 在物理中的应用516

b.惯性矩518

c.复合摆520

d.吸引质量的势523

练习4.9526

4.10 在曲线坐标中的重积分529

a.重积分的分解529

b.应用到移动曲线扫过的面积和移动曲面扫过的体积.古鲁金公式.配极求积仪532

4.11 任意维数的体积和曲面面积537

a.高于三维的曲面面积和曲面积分537

b.n维空间中的球体面积和体积538

c.推广.参数表示542

练习4.11545

a.一致收敛性.对参数的连续依赖性546

4.12 作为参数的函数的广义单积分546

b.广义积分对参数的微分法和积分法549

c.例551

d.菲涅尔积分值的计算556

练习4.12557

4.13 傅立叶积分559

a.引言559

b.例562

c.傅立叶积分定理的证明564

d.傅立叶积分定理的收敛速度567

e.傅立叶变换的巴色瓦等式570

f.多元函数的傅立叶变换572

a.定义和函数方程579

练习4.13579

4.14 欧拉积分(伽玛函数)579

b.凸函数.波尔-摩尔路波定理的证明581

c.伽玛函数的无穷乘积585

d.延拓定理589

e.贝塔函数591

f.分数次微商和积分、阿贝尔积分方程594

练习4.14595

附录：积分过程的详细分析598

A.1 面积598

a.平面的分划和相应的内、外面积598

b.若当可测集及其面积600

c.面积的基本性质602

A.2 多元函数的积分607

a.函数/(x,y)的积分的定义607

b.连续函数的可积性与在集合上的积分609

c.重积分的基本法则611

d.化重积分为累次单积分614

A.3 面积与积分的变换617

a.集合的映射617

b.重积分的变换622

A.4 关于曲面面积定义的附注623

第五章 曲面积分和体积分之间的关系626

5.1 线积分和平面上的重积分之间的联系(高斯，斯托克斯和格林的积分定理)626

5.2 散度定理的向量形式.斯托克斯定理633

5.3 二维分部积分公式.格林定理.散度定理637

练习5.2637

5.4 散度定理应用于重积分的变量替换639

a.1-1映射的情形639

b.积分的变量替换和映射度642

5.5 面积微商，将△u变到极坐标的变换646

5.6 用二维流动解释格林和斯托克斯公式650

5.7 曲面的定向655

a.三维空间中二维曲面的定向656

b.在定向曲面上曲线的定向666

练习5.7668

5.8 曲面上微分形式和数量函数的积分668

a.定向平面区域上的重积分668

b.二阶微分形式的曲面积分671

c.定向曲面上微分形式的积分和非定向曲面上数量函数的积分之间的关系673

5.9 空间情形的高斯定理和格林定理676

a.高斯定理676

练习5.9a680

b.高斯定理在流体流动中的应用681

c.高斯定理在空间力和曲面力上的应用683

d.分部积分和三维空间中的格林定理686

e.应用格林定理把△∪变换成球坐标的形式687

练习5.9e689

5.10 空间斯托克斯定理690

a.定理的叙述和证明690

练习5.10a693

b.斯托克斯定理的物理解释694

练习5.10b696

5.11 高维积分恒等式702

附录：曲面和曲面积分的一般理论704

A.1 三维空间中的曲面和曲面积分704

a.基本曲面704

b.函数在基本曲面上的积分707

c.定向基本曲面709

d.简单曲面711

e.单位分解以及在简单曲面上的积分714

A.2 散度定理717

a.定理的叙述及其不变性717

b.定理的证明719

A.3 斯托克斯定理722

a.基本曲面725

A.4 在高欧氏空间中的曲面和曲面积分725

b.微分形式在定向基本曲面上的积分727

c.简单m维曲面727

A.5高维空间中简单曲面上的积分，高斯散度定理和一般的斯托克斯公式730

解答733

第六章 微分方程765

6.1 空间质点运动的微分方程765

a.运动方程765

b.能量守恒原理767

c.平衡.稳定性769

d.在平衡位置附近的小振动771

e.行星运动774

练习6.1e780

f.边值问题.有载荷的缆与有载荷的梁781

6.2 一般的一阶线性微分方程787

a.分离变量法787

b.一阶线性方程789

练习6.2791

6.3 高阶线性微分方程792

a.叠加原理.解通792

b.二阶齐次微分方程796

练习6.3b798

c.非齐次微分方程.参数变易法800

练习6.3c803

6.4 一般的一阶微分方程805

a.几何解释805

b.曲线族的微分方程.奇解.正交轨线807

c.解的存在唯一性定理809

练习6.4813

6.5 微分方程组和高阶微分方程816

练习6.5817

6.6 用待定系数法求积分818

练习6.6819

6.7 电荷引力的位势和拉普拉斯方程820

a.质量分布的位势820

b.位势的微分方程824

c.均匀双层位势825

d.平均值定理828

e.圆的边值问题.普洼松(Poisson)积分829

6.8 来自数学物理的偏微分方程的其它例子832

a.一维波动方程832

练习6.7832

b.三维空间的波动方程834

c.自由空间中的马克斯韦耳(Maxwell)方程836

练习6.8839

第七章 变分学842

7.1 函数及其极值842

7.2 泛函极值的必要条件846

a.第一变分等于零846

练习7.2a847

b.欧拉微分方程的推导847

c.基本引理的证明851

d.一些特殊情形的欧拉微分方程的解.例子852

习题7.2d855

e.欧拉表达式恒等于零的情形856

7.3 推广857

a.具有多于一个自变函数的积分857

b.例子859

习题7.3b861

c.哈密尔顿原理.拉格朗日方程861

d.含高阶导数的积分863

e.多自变量864

7.4 含附带条件的问题.拉格朗日乘子866

a.通常的附带条件866

习题7.4a868

b.其他类型的附带条件869

习题*7.4b870

a.极限.复数项的无穷级数872

第八章 单复变函数872

8.1 幂级数表示的复函数872

b.幂级数875

c.幂级数的微分法和积分法876

d.幂级数的例子879

8.2 单复变函数一般理论的基础880

a.可微性条件880

b.微分学的最简单运算883

c.保角变换.反函数886

8.3 解析函数的积分887

a.积分的定义887

b.柯西定理889

c.应用.对数函数，指数函数及一般幂函数891

a.柯西公式895

8.4 柯西公式及其应用895

b.解析函数的幂级数展式896

c.函数论与位势理论899

d.柯西定理的逆定理899

e.解析函数的零点，极点和留数900

8.5 留数定理对复积分(围道积分)的应用902

a.证明公式902

b.证明公式903

c.留数字理对于有理函数的积分的应用904

d.留数定理与常系数微分方程907

8.6 多值函数与解析开拓908

问题(8.1--8.5)912

解答921