《微积分学教程 第2卷 第1、2分册》求取 ⇩

第八章 原函数(不定积分)1

1. 不定积分与它的计算的最简单的方法1

251.原函数(即不定积分)的概念1

原函数1

十画1

被积函数2

不定积分2

～的性质3

252.积分与面积定义题4

初始条件4

变量的开始值4

～的几何解释4

莱不尼慈和牛顿的定理5

牛顿5

巴若5

牛顿和莱不尼兹的定理5

抛物线6

～视为原函数6

～表7

253.基本积分表7

～的法则8

积分法8

254.最简单的积分法则8

255.例题10

真分式展成部分(简单)公式12

换元(替换)～13

256.换元积分法13

替换(换元)13

257.例题17

三角替换20

双曲替换20

分部积分法21

258.分部积分法21

259.例题23

有理函数的～26

有限形状的～26

有理式的积分法26

有限形状的积分法26

260.在有限形状中积分问题的提出26

2. 有理式的积分26

部分(简单)分式27

～的积分法27

十一画27

不能表成有限形状的～27

261.部分分式与它们的积分27

262.分解真分式为部分分式29

待定系数法33

263.系数的确定、真分式的积分33

奥斯特洛格拉得斯基关于积分的有理部分分出法34

～的有理部分的分离法34

264.分离积分的有理部分34

奥斯特洛格拉得斯基公式36

265.例题38

根式的～40

266.形状为R(x,?)的积分、例题40

3. 某些含有根式的函数的积分40

～的有理化41

二画42

～的积分法42

二项微分42

267.二项式微分的积分、例题42

且白雪夫43

～的递推公式44

递推公式，二项微分的～44

268.递推公式44

269.形状为R(x,?)的表达式的积分、欧拉替换47

欧拉47

～替换47

270.欧拉替换的几何解释49

271.例题50

272.其他的计算方法55

～的代数部分分离法58

亚贝尔替换59

线性分式替换60

273.例题62

274.关于R(sinx,cosx)dx的积分64

～与指数函数表达式的积分法64

4.含有三角函数与指数函数的表达式的积分64

275.关于表达式sinvx·cos?x的积分66

sinvx cosμx的积分的～66

276.例题69

277.其他情形的概述72

积分正弦73

积分余弦73

积分对数73

5.椭圆积分74

椭圆积分74

六画74

亚贝尔积分74

278.一般说明及定义74

有理曲线75

伪～76

279.辅助变换76

280.化成标准形式79

281.第一、第二与第三类椭圆积分81

柳维耳83

勒让德83

勒让德形式的～83

～形式的椭圆积分83

～的模84

～函数F(k,？)，E(k，？)84

1. 定积分的定义与存在条件85

282.处理面积问题的另一方法85

第九章 定积分85

～视为和的极限86

莱不尼慈86

十二画86

约翰·伯努里86

分区间的基本叙列87

283.定义87

四画87

达布88

七画88

黎曼(积分)和88

可积函数88

定积分88

黎曼88

～的上(下)限88

十五画88

通常意义下的定积分88

积分和88

284.达布和数88

积分88

上(下)～89

～上(下)和89

285.积分的存在条件91

～的存在条件91

～上(下)积分91

286.可积函数的种类93

～类93

287.可积函数的一些性质95

～的性质95

～函数97

288.例题及补充97

～积分视为极限98

～定理98

289.看作极限的下积分与上积分98

290.沿定向区间的积分100

2. 定积分的一些性质100

区间上的方向100

～的性质100

定了向的区间100

291.可用等式表示的一些性质101

292.可用不等式表示的一些性质103

中值定理105

广义 ～107

293.定积分看作积分上限的函数108

～对于其上(下)限的微分法109

～的存在109

294.第二中值定理110

第二～110

波内公式112

用积分和113

295.借助于积分和数的计算113

3. 定积分的计算与变换113

布洼松115

296.积分学的基本公式117

～计算的基本公式117

用原函数117

297.例题118

～与拉格朗日公式的联系118

费叶119

狄锐西勒119

298.基本公式的另一导出法122

299.递推公式123

～的递推公式123

定积分的～123

定积分的计算法125

300.例题125

分部积分法125

301.定积分的换元公式128

～的换元公式128

302.例题129

偶函数在对称区间上的积分131

～多项式131

周期函数在周期区间上的积分132

奇函数在对称区间上的积分132

十九画134

蓝登变换134

303.高斯公式、蓝登变换134

～函数F(k),E(k),136

全～136

304.换元公式的另一导出法137

瓦理斯公式139

泰乐公式的余项139

4. 定积分的一些应用139

305.瓦理斯公式139

306.带余项的泰氏公式139

十三画140

307.数e的超越性140

数e的超越性140

十八画140

额尔米特140

308.勒让德多项式142

梯形公式144

5. 积分的近似计算144

309.问题的提出、矩形及梯形公式144

通常积分的近似计算144

矩形公式144

抛物线型的插入法147

310.抛物线型补插法147

311.积分区间的分割149

辛卜生公式150

～的余项150

312.矩形公式的余项150

～的余项151

313.梯形公式的余项151

～的余项152

314.辛卜生公式的余项152

315.例题154

五画158

卡大兰常数158

第十章 积分学在几何学、力学与物理学中的应用160

316.引理160

1.弧长160

曲线162

～的方向162

317.曲线上的方向162

九画163

318.弧长的定义163

弧长163

～的可度长弧164

弧长的～165

～的可加性165

319.弧长的可加性165

～的积分表达式166

320.弧长存在的充公条件及弧长的计算法166

321.不定弧；它的长度的微分169

～的微分169

星形线170

322.例170

悬链线170

圆的渐伸线171

旋轮线171

对数螺线171

阿基米德螺线171

八画171

椭圆172

十六画172

双曲线173

？线173

双纽线174

～的渐伸线174

曳物线175

323.平面曲线的本性方程式176

～的本性方程176

324.例179

圆内旋轮线180

圆内～180

圆外旋轮线180

圆外～180

十四画181

空间曲线的弧长181

渐屈线的本性方程181

325.空间的曲线的弧长181

2. 面积与体积182

螺旋线182

十七画182

～的面积182

维维亚尼曲线182

326.面积概念的定义、可加性182

可求积的图形183

平面图形183

～的内(外)面积183

可求积的条件183

～的面积的可加性184

～的面积看作极限184

面积的～184

面积的可加性184

327.面积看作极限184

328.可求积的区域的种类187

圆滑的曲线188

329.面积的积分表达式189

曲线梯形的面积189

～的面积的积分表达式189

330.例191

双曲线函数193

三画193

三角函数，～与双曲函数的联系193

笛卡凡叶形线197

331.体积概念的定义及其特性199

体积的可加性199

～的可加性199

物体的体积199

体积的～199

～的存在条件200

～视为极限200

332.有体积的立体的种类200

圆滑的曲面201

333.体积的积分表达式202

～的积分表达式202

用断面求～203

圆锥205

334.例205

圆柱弓形体207

～的面积211

335.？转面的面积211

～带215

336.例215

337.柱面面积217

～的面积217

338.例219

3. 力学与物理学的数量的计算222

339.定积分应用的大意222

有可加性的区间函数222

～应用的大意222

340.曲线的静力矩与重心的求法225

～的重心225

～的静力矩225

无穷小元素求和法225

古鲁金定理226

341.例226

环面227

342.平面图形的静力矩与重心的求法228

～的静力矩228

～的重心228

343.例229

344.力学上的功230

345.例232

346.平面轴基的摩擦力的功234

物体236

～的重心236

～静力矩236

347.无穷小元素求和的问题236

迴转面237

～的转动惯量237

球237

半～237

半球237

～的静力矩237

～的重心237

柱面237

～的重心237

～的静力矩237

～转动惯量238

托里拆里239

必欧与萨瓦尔定律240

微分方程241

348.基本概念、一般方程式241

4.最简单的微分方程式241

349.微商的一次方程式、分离变量242

350.问题245

351.关于微分方程式的构成的附注249

～的构成249

352.问题250

～公式254

353.基本概念255

354.例题256

355.基本定理258

356.正项级数收敛的条件261

2. 正项级数的收敛性261

357.级数的比较定理263

358.例题265

359.歌西判别法与达郎伯尔判别法269

260.拉阿伯判别法271

361.例题274

362.库麦尔判别法276

363.高斯判别法279

364.歌西积分判别法280

365.补充材料284

3. 任意项级数的收敛性291

366.绝对收敛性291

367.例题293

368.幂级数、幂级数的收敛区间294

369.交错级数297

370.例题299

371.亚贝尔变换300

372.亚贝尔判别法与狄锐西勒判别法302

373.例题304

374.可结合性308

4.收敛级数的性质308

375.绝对收敛级数的可交换性310

376.非绝对收敛级数的情形312

377.级数的乘法315

378.例题318

379.级数乘法定理的推广320

5.二重级数322

380.基本概念322

381.正项级数326

382.绝对收敛级数329

383.例题333

384.两个变数的幂级数；收敛区域338

385.例题341

386.多重级数342

387.基本概念343

6. 无穷乘积343

388.例题344

389.基本定理与级数的关系346

390.例题349

第十一章 常数项无穷级数355

1. 引言355

7. 初等函数的展开357

391.展开函数成幂级数；泰乐级数357

392.展开指数函数、基本三角函数及其他函数成为级数359

393.对数级数、司特林公式361

394.二项式级数365

395.展开sinx与cosx成无穷乘积367

396.一般说明371

8. 借助于级数作近似计算371

397.数π的计算372

398.对数的计算374

399.根式的计算376

第十二章 函数序列与函数级数378

1. 一致收敛性378

400.引言378

401.一致收敛性与非一致收敛性380

402.一致收敛性的条件385

403.级数一致收敛性的判别法386

2. 级数和的函数性质389

404.级数和的连续性389

405.逐项取极限392

406.级数的逐项求积分394

407.级数的逐项求微商396

408.序列的观点400

409.幂级数的和的连续性402

410.幂级数积分与微分406

3. 应用410

411.逐项取极限的例410

412.级数的逐项求积分的例413

413.级数的逐项求微商的例422

414.隐函数理论中的逐渐近似法426

415.三角函数的分析定义429

416.没有微商的连续函数的例子431

417.利用系数表示收敛半径433

4. 关于幂级数的补充知识433

418.关于幂级数的运算435

419.把级数代入级数438

420.例440

421.幂级数的除法445

422.伯努里数及含有伯努里数的展式447

423.利用级数解方程式451

424.幂级数之反演455

425.拉格朗日级数456

5. 复变数的初等函数459

426.复数459

427.复数贯数及其极限461

428.复变数的函数464

429.幂级数466

430.指数函数469

431.对数函数471

432.三角函数及反三角函数473

434.例477

433.乘方函数477