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第十三章 瑕积分483

1 积分限为无穷的瑕积分483

435. 积分限为无穷的瑕积分的定义483

436. 积分学基本公式的用法485

437. 例题486

438. 积分存在的条件489

439. 与无穷级数联系491

440. 瑕积分的(基于互相比较的)收敛判断法494

441. 更细致的判断法497

442. 例题499

443. 无界函数的积分的定义505

2. 无界函数的瑕积分505

444. 关于瑕点的补充508

445. 积分学基本公式的用法·例题509

446. 积分存在的条件和判断法511

447. 例题514

448. 瑕积分的主值520

3. 瑕积分的性质与变形524

449. 最简单的一些性质524

450. 中值定理527

451. 瑕积分的分部积分法529

452. 例题529

453. 瑕积分里的变数替换532

454. 例题533

4. 瑕积分的特别计算法537

455. 几个有名的积分537

456. 用积分和计算瑕积分·积分限都为有穷的情形541

457. 积分带无穷限的情形543

458. 伏汝兰尼积分547

459. 有理函数在正负无穷之间的积分550

460. 杂例和习题555

5. 瑕积分的近似计算565

461. 有穷区间上的积分·瑕点分出法565

462. 例题566

463. 关于通常积分的近似计算的附注570

464. 带有无穷限的瑕积分的近似计算571

第十四章 依赖于参数的积分574

1. 基本理论574

465. 问题叙述574

466. 一致趋向于极限函数574

467. 两个极限过程的互换578

468. 在积分号下的极限过程580

469. 在积分号下的微分法582

470. 在积分号下的积分法585

471. 当积分限依赖于参数时的情形587

472. 仅依赖于χ的因子的引入589

473. 例题592

474. 代数学中基本定理的高斯证明602

2. 积分的一致收敛性604

475. 积分的一致收敛性的定义604

476. 一致收敛的条件·与级数的连系606

477. 一致收敛的充分判别法607

478. 一致收敛性的其它情形610

479. 例题612

3. 积分一致收敛性的应用617

480. 在积分号下的极限过程617

481. 例题620

482. 含参数的积分的连续性与可微性633

483. 含参数的积分的积分法636

484. 对于一些积分计算的应用639

485. 在积分号下取微商的例题646

486. 在积分号下求积分的例题656

4. 补充666

487. 阿尔采拉引理666

488. 积分号下取极限668

489. 积分号下取微商671

490. 积分号下取积分672

5. 欧拉积分674

491. 第一型欧拉积分674

492. 第二型欧拉积分677

493. Γ函数的一些最简单的性质680

494. 由Γ函数的特性而得到的同义定义684

495. 例题686

496. Γ函数的对数微商693

497. Γ函数之叠乘定理696

498. 几个级数展式与乘积分展示697

499. 例与补充699

500. 若干定积分之计算704

501. 司特林公式712

502. 渐近级数716

503. 渐近级数之运算719

504. 欧拉常数之计算722

505. Γ函数的以10为底的对数表和编制723

506. 在分析中所遇到的极限的各种类型725

附录 极限的一般观点725

507. 有序集合(狭义的)726

508. 有序集合(广义的)727

509. 有序变量及其极限730

510. 命题732

511. 关于函数极限的附注734

512. 极限理论的推广735

513. 同序变量738

514. 借助于参数的排列法740

515. 化简成贯数741

516. 有序变量的上极限与下极限744