《微积分和数学分析引论 第1卷 第1分册》求取 ⇩

第一章 引言1

1.1 实数连续统1

a. 自然数系及其扩充.计数和度量2

b. 实数和区间套7

c. 十进小数.其他进位制9

d. 邻域的定义13

c. 不等式13

1.2 函数的概念18

a. 映射--图形20

b. 连续变量的函数概念的定义.函数的定义域和值域23

c. 函数的图形表示.单调函数26

d. 连续性31

e. 中间值定理.反函数46

1.3 初等函数49

a. 有理函数49

b. 代数函数50

c. 三角函数51

d. 指数函数和对数函数52

e. 复合函数.符号积.反函数54

1.4 序列57

1.5 数学归纳法58

a. an=?63

1.6 序列的极限63

b. a2m=?; a2m-1=?64

c. an=?65

d. an=?66

e. an=an67

f. an和？的极限之几何解释68

g. 几何级数70

h. an=?72

i. an=?-?72

1.7 再论极限概念73

a. 收敛和发散的定义73

j. an=?,其中a>173

b. 极限的有理运算75

c. 内在的收敛判别法.单调序列76

d. 无穷级数及求和符号78

e. 数e81

f. 作为极限的数π84

1.8 连续变量的函数的极限概念85

a. 初等函数的一些注记90

补篇92

S1 极限和数的概念93

a. 有理数94

b. 有理区间套序列定义实数95

c. 实数的顺序、极限和算术运算97

d. 实数连续统的完备性.闭区间的紧致性.收敛判别法则100

e. 最小上界和最大下界103

f. 有理数的可数性104

S2 关于连续函数的定理105

S3 极坐标108

S4 关于复数的注记109

问题112

第二章 积分学和微分学的基本概念127

2.1 积分128

a. 引言128

b. 作为面积的积分129

c. 积分的分析定义.表示法131

a. 线性函数的积分136

2.2 积分的初等实例136

b. x2的积分138

c. xa的积分(a是不等于-1的整数)139

d. xa的积分(a是不等于-1的有理数)142

e. sin x和cos x的积分143

2.3 积分的基本法则145

a. 可加性145

b. 函数之和的积分.函数与常数乘积的积分146

c. 积分的估值148

d. 积分学中值定理149

2.4 作为上限之函数的积分--不定积分152

a. 对数函数的定义154

2.5 用积分定义对数154

b. 对数的加法定理156

2.6 指数函数和幂函数159

a. 数e的对数159

b. 对数函数的反函数.指数函数160

c. 作为幂的极限的指数函数162

d. 正数的任意次幂的定义162

e. 任何数为底的对数163

2.7 x的任意次幂的积分164

2.8 导数165

a. 导数与切线166

b. 作为速度的导数172

c. 微分法举例174

d. 一些基本的微分法则176

e. 函数的可微性和连续性177

f. 高阶导数及其意义180

g. 导数和差商.莱布尼兹表示法182

h. 微分学中值定理184

i. 定理的证明186

j. 函数的线性近似.微分的定义190

k. 关于在自然科学中的应用的一点评述195

2.9 积分、原函数和微积分基本定理196

a. 不定积分的导数196

b. 原函数及其与积分的关系198

c. 用原函数计算定积分201

d. 例202

补篇 连续函数的定积分的存在性204

问题207

第三章 微分法和积分法214

第一部分 初等函数的微分和积分214

3.1 最简单的微分法则及其应用214

a. 微分法则214

b. 有理函数的微分法217

c. 三角函数的微分法218

a. 一般公式219

3.2 反函数的导数219

b. n次幂的反函数：n次根222

c. 反三角函数--多值性224

d. 相应的积分公式228

e. 指数函数的导数与积分230

3.3 复合函数的微分法230

a. 定义230

b. 链式法则231

c. 广义微分学中值定理235

3.4 指数函数的某些应用236

a. 用微分方程定义指数函数237

b. 连续复利.放射性蜕变237

d. 大气压随地面上的高度的变化239

c. 物体被周围介质冷却或加热239

e. 化学反应过程241

f. 电路的接通或切断241

3.5 双曲函数242

a. 分析的定义242

b. 加法定理和微分公式245

c. 反双曲函数246

d. 与三角函数的其他相似性248

3.6 最大值和最小值问题250

a. 曲线的下凸和上凸250

b. 最大值和最小值--极值问题.平稳点252

a. 量阶的概念.最简单的情形263

3.7 函数的量阶263

b. 指数函数与对数函数的量阶264

c. 一点注记267

d. 在一点的邻域内函数的量阶267

e. 函数趋向于零的量阶268

f. 量阶的“O”和“o”表示法269

附录271

A1 一些特殊的函数272

a. 函数 y=e?272

b. 函数 y=e?273

c. 函数 y=tanh?274

e. 函数 y=x sin?,y(0)=0275

d. 函数 y=x tanh?275

A2 关于函数可微性的注记276

第二部分 积分法278

3.8 初等积分表280

3.9 换元法281

a. 换元公式.复合函数的积分281

b. 换元公式的另一种推导方法286

c. 例.积分公式287

3.10 换元法的其他实例288

3.11 分部积分法292

a. 一般公式292

b. 分部积分的其他例子294

d. 递推公式296

c. 关于 f(b)+f(a)的积分公式296

e. π的瓦里斯 (Wallis) 无穷乘积298

3.12 有理函数的积分法300

a. 基本类型301

b. 基本类型的积分303

c. 部分分式304

d. 分解成部分分式举例.待定系数法307

3.13 其他几类函数的积分法310

a. 圆和双曲线的有理表示法初阶310

b. R(cosx,sinx)的积分法312

e. R(x,?)的积分法314

c. R(cosh x,sinh x)的积分法314

d. R(x,?)的积分法314

f. R(x,?)的积分法315

g. R(x,?)的积分法315

h. 化为有理函数积分的其他例子316

i. 注记317

第三部分 积分学的进一步发展318

3.14 初等函数的积分318

a. 用积分定义的函数.椭圆积分和椭圆函数318

3.15 积分概念的推广321

a. 引言. 广义积分的定义321

b. 关于微分和积分321

b. 无穷间断的函数323

c. 作为面积的解释325

d. 收敛判别法325

e. 无穷区间上的积分327

f. 伽玛函数329

g. 狄里克莱(Dirichlet)积分330

h. 变量置换. 菲涅耳(Fresnel)积分332

3.16 三角函数的微分方程333

a. 关于微分方程的初步说明333

b. 由微分方程和初始条件定义的sin x 和cos x334

问题336