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复变函数3

第1章复数和平面点集3

1.1 复数3

1.1.1 复数集3

1.1.2 共轭复数5

1.1.3 关于复数模的不等式7

1.1.4 复数的几何表示8

1.1.5 复数的乘方和开方14

1.2 复数序列的极限、无穷远点15

1.3 平面点集17

1.3.1 基本概念17

1.3.2 区域与曲线18

习题20

第2章 复变数函数24

2.1 复变数函数24

2.2 函数的极限和连续性27

2.3 导数和解析函数的概念29

2.4 柯西-黎曼方程32

2.5 初等函数35

2.5.1 指数函数35

2.5.2 三角函数和双曲函数36

2.5.3 对数函数39

2.5.4 一般幂函数41

2.5.5 反三角函数43

习题45

第3章 解析函数的积分表示48

3.1 复变函数的积分48

3.1.1 定义和计算方法48

3.1.2 长大不等式52

3.2 柯西积分定理54

3.3 柯西积分公式57

3.4 原函数62

3.5 解析函数与调和函数的关系64

3.6 平面场68

习题74

第4章 解析函数的级数表示78

4.1 幂级数78

4.1.1 复数项级数78

4.1.2 幂级数及其收敛圆80

4.2 解析函数的泰勒展开82

4.3 解析函数的罗朗展开87

4.3.1 罗朗级数和罗朗定理87

4.3.2 解析函数在孤立奇点的罗朗展开92

4.4 孤立奇点的分类96

4.4.1 函数在有限孤立奇点附近的性状96

4.4.2 函数在无穷远点附近的性状102

习题103

第5章 留数及其应用108

5.1 留数定理108

5.2 定积分的计算112

5.2.1 I＝∫2xR(sinθ，cosθ)dθ型的积分113

5.2.2 三条引理115

5.2.3 有理函数的积分118

5.2.4 I1＝∫+∞-∞R(x)cosmxdx及I2=+∞-∞R(x)sinmxdx(m＞0)型的积分120

5.2.5 杂例121

5.2.6 多值函数的积分127

5.3 辐角原理132

习题138

6.1.1 导数的几何意义142

6.1 保形变换的概念142

第6章 保形变换142

6.1.2 保形变换的概念144

6.2 分式线性变换146

6.3 初等函数的映照154

6.3.1 幂函数和根式函数154

6.3.2 指数函数和对数函数158

6.3.3 儒可夫斯基变换160

6.4 用保形变换求平面场的复势164

习题166

第7章 拉普拉斯变换169

7.1 拉普拉斯变换的定义169

7.2 拉普拉斯变换的基本运算法则172

7.3 拉普拉斯变换的反演公式184

附表7.1 拉普拉斯变换基本法则表191

附表7.2 拉普拉斯变换表192

习题197

数学物理方程205

第1章数学物理中的偏微分方程205

1.1 偏微分方程的一些基本概念205

1.2 三个典型方程及其物理背景209

1.2.1 理想弦的横振动方程210

1.2.2 热传导方程212

1.2.3 扩散方程215

1.2.4 静电场的场势方程215

1.2.5 自由电磁波方程216

1.3 定解条件和定解问题217

1.3.1 初始条件和初始问题218

1.3.2 边界条件和边值问题219

1.3.3 混合问题221

1.3.4 定解问题的适定性概念224

1.4 关于定解问题的解法225

1.4.1 达朗贝尔公式225

1.4.2 广义解227

1.5.1 叠加原理228

1.5 叠加原理和齐次化原理228

1.5.2 齐次化原理231

习题234

第2章 分离变量法237

2.1 有界弦的自由振动237

2.2 极坐标系下△2u＝0的边值问题242

2.3 固有值问题的斯图模-刘维尔理论245

2.4 非齐次情形259

2.4.1 边界条件是齐次的非齐次发展方程的混合问题259

2.4.2 一般非齐次混合问题263

2.4.3 泊松方程的边值问题266

习题268

第3章 特殊函数272

3.1 贝塞尔函数272

3.2 贝塞尔函数的性质277

3.2.1 母函数和积分表示277

3.2.2 微分关系和递推公式278

3.2.3 渐近公式、衰减振荡性和零点283

3.3 贝塞尔方程的固有值问题285

3.4 勒让德方程的固有值问题292

3.5 勒让德多项式的母函数和递推公式296

3.6 函数的富里叶-勒让德展开299

习题305

第4章 积分变换方法310

4.1 用富里叶变换解题310

4.1.1 富里叶变换310

4.1.2 解题举例312

4.2 用拉普拉斯变换解题317

习题323

第5章 基本解和解的积分表达式325

5.1 δ函数325

5.2 场势方程的边值问题334

5.2.1 Lu＝0型方程的基本解334

5.2.2 格林函数及其物理意义336

5.2.3 用镜像法求格林函数341

5.2.4 二维情形346

5.3 ut=Lu型方程柯西问题的基本解352

5.4 utt=Lu型方程柯西问题的基本解357

5.4.1 柯西问题解的积分表示357

5.4.2 降维法362

5.4.3 自由波的传播365

5.4.4 推迟势公式371

习题372

习题答案375