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第一章矢量代数1

一、内容提要1

§1·1 矢量及其运算1

1．矢量及其线性运算1

2．矢量的数积，矢积，混合积4

§1·2 矢量运算的坐标表示7

二、例题10

三、习题28

1．矢量的线性运算（习题1·1～习题1·39）28

2．矢量及其线性运算的坐标表示（习题1·40～习题1·74）33

3．矢量的数积（内积）及其坐标表示（习题1·75～习题1·124）37

4．矢量的矢积、混合积及其坐标表示（习题1·125～习题1·161）42

5．二重矢积（习题1·162～习题1·171）46

6．综合题（习题1·172～习题1·190）48

第二章空间坐标系51

一、内容提要51

§2·1 空间直角坐标系51

1．空间直角坐标系定义51

2．空间点的直角坐标52

3．两点间的距离53

§2·2 空间柱面坐标系与球面坐标系54

1．柱面坐标系及点的柱面坐标54

4．定比分割54

2．球面坐标系及点的球面坐标55

§2·3 空间仿射坐标系57

§2·4 坐标变换58

1．直角坐标变换58

2．仿射坐标变换63

二、例题64

三、习题79

1．直角坐标系，两点间距离，定比分割（习题2·1～习题2·22）80

2．柱面坐标系和球面坐标系（习题2·23～习题2·31）81

3．直角坐标变换（习题2·32～习题2·42）83

4．仿射坐标变换（习题2·43～习题2·45）86

第三章平面和直线88

一、内容提要88

§3·1 仿射坐标系下平面和直线的有关问题88

1．在一般仿射坐标系下平面方程的各种形式88

2．平面方程系数的几何意义90

3．平面间的相互位置91

4．平面束平面把94

5．三元一次不等式96

6．在一般仿射坐标系下直线方程的各种形式96

7．两条直线的相互位置100

8．直线与平面的相互位置100

1．平面的法方程101

§3·2 直角坐标系下直线与平面的有关问题101

2．角度距离102

二、例题109

三、习题144

1．平面（习题3·1～习题3·23）144

2．直线（习题3·24～习题3·49）147

3．平面与直线（习题3·50～习题3·91）151

4．平面与直线的综合题（习题3·92～习题3·184）158

5．二次曲面与平面的截线（习题6·133～习题6·172

一、内容提要173

§4·1 曲面方程173

第四章曲面方程和空间曲线方程173

2．曲面方程173

1．曲面的定义173

3．曲面方程的互化175

4．曲面的分类175

5．举例说明方程代表的图形176

§4·2 曲线方程177

1．曲线的定义177

2．曲线方程177

3．曲线的分类178

4．举例说明曲线方程表示的图形178

5．曲面上的坐标曲线179

6．通过曲线的曲面179

7．曲面和曲线的交点180

8．曲线的投影柱面和投影曲线180

二、例题181

三、习题192

1．曲面方程（习题4·1～习题4·26）192

2．曲线方程（习题4·27～习题4·48）196

3．拟柱面和拟锥面方程（习题4·49～习题4·55）201

第五章几个常见的曲面204

一、内容提要204

§5·1 球面204

1．球面的定义和方程204

2．球面的切线、切面和法线205

3．球面束207

§5·2 柱面、锥面、旋转面208

1．柱面208

2．锥面212

3．旋转面216

§5·3 椭球面、双曲面、抛物面220

1．二次曲面的种类和名称220

2．椭球面、双曲面、抛物面的形状222

3．切平面、法线、圆截面223

§5·4 二次直纹曲面224

1．二次曲面〔1〕—〔17〕中的二次直纹曲面224

§5·5 曲线产生曲面231

3．单叶双曲面和双曲抛物面的构成231

2．单叶双曲面和双曲抛物面的直母线的性质231

二、例题233

1．球面（习题5·1～习题5·100）283

三、习题283

2．柱面、锥面、旋转面（习题5·101～习题5·190）300

3．椭球面、双曲面、抛物面、二次锥面（习题5·191～习题5·302）318

4．二次直纹曲面（习题5·303～习题5·330）336

5．曲线产生曲面（习题5·331～习题5·340）339

第六章二次曲面的一般理论342

一、内容提要342

1．二次曲面的定义及其有关符号342

2．二次曲面与直线相交的情况345

§6·1 仿射坐标系下二次曲面的性质346

§6·2 仿射坐标系下二次曲面的标准方程355

§6·3 在直角坐标系下二次曲面性质的进一步研究367

§6·4 直角坐标系下二次曲面的度量标准方程及其用正交不变量的表示式370

§6·5 直角坐标系下二次曲面与平面的交线384

§6·6 n维空间中二次曲面的度量标准方程388

二、例题391

三、习题449

1．二次曲面的性质（习题6·1～习题6·58）449

2．二次曲面的（仿射和度量）标准方程、形状和位置（习题6·59～习题6·62）455

3．利用不变量解决曲面的有关问题（习题6·63～习题6·101）458

4．二次曲面方程的建立（习题6·102～习题6·132）462

6．二次曲面的综合题（习题6·173～习题6·190）472

7．n维空间中的二次曲面（习题6·191～习题6·205）476

第七章正交变换与仿射变换480

一、内容提要480

§7·1 点变换480

1．点变换480

2．恒等变换480

§7·2 变换群481

7．变换的不动点（不变点）481

6．变换乘法的运算规律481

5．变换的乘积481

4．变换的相等481

3．一一变换、逆变换481

§7·3 正交变换482

1．定义482

2．性质482

3．正交变换的代数表示482

4．几个常见的正交变换483

5．正交变换的矩阵，运动和反运动484

6．正交变换群484

7．关于正交变换的几个论断484

1．定义485

§7·4 仿射变换485

2．性质486

3．几个常见的仿射变换486

4．关于仿射变换的几个论断489

§7·5 二次曲面的度量分类和仿射分类489

1．欧氏几何、仿射几何489

2．图形的等价490

3．二次曲面的分类490

二、例题498

三、习题507

§8·3 德沙格定理和帕普斯定理516

6．三点共线、四点共面的条件516

§8·2 对偶原则516

5．平面的齐次坐标516

1．德沙格定理516

2．帕普斯定理516

1．点的射影坐标516

§8·4 射影坐标与射影坐标变换516

3．齐次坐标与齐次坐标变换516

2．无穷远元素516

1．线束与线把516

§8·1 无穷远元素和齐次坐标516

一、内容提要516

第八章射影几何大意516

4．平面与无穷远线的齐次方程516

2．点的射影坐标变换公式517

§8·5 交比（复比）517

1．直线上四点的交比517

3．四面四线与四点交比的关系518

4．四点交比与次序的关系518

5．调和比518

2．面束中四个平面的交比518

2．线束中四线的交比518

§8·6 射影变换520

1．中心透射520

2．射影变换521

3．射影变换的性质521

4．对射变换522

5．配极变换523

§8·7 二次曲面的射影分类523

1．二次曲面523

2．二次曲面的极点与极面524

3．二次曲面的射影分类525

4．复数域上二次曲面的射影分类528

二、例题528

三、习题545

附录 习题答案552