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第一章矢量及其线性运算1

1 矢量概念1

2 矢量线性运算3

2.1 矢量加法及其运算规律3

2.2 数量乘矢量及其运算规律5

3 矢量的线性关系9

3.1 矢量的线性组合9

3.2 矢量的线性关系11

4 平行投影 有向直线 直线上矢量的代数长14

4.1 平行投影14

4.2 有向直线15

4.3 直线上矢量的代数长16

结束语17

第二章仿射坐标系 直线和平面18

1 空间仿射坐标系18

1.1 空间仿射坐标系的建立18

1.2 矢量的分量(或坐标)19

1.3 点的坐标21

1.4 平行投影与仿射坐标系22

1.5 图和例24

2 直线27

2.1 直线方程27

2.2 矢量的定比分割31

2.3 两直线的相对位置32

3 平面35

3.1 平面的参数方程35

3.2 平面的普遍方程36

3.3 三元一次多项式的符号41

3.4 矢量与平面平行的条件42

3.5 两平面的相对位置43

3.6 对于坐标系有特殊位置的平面45

4 直线和平面间的关系49

4.1 直线与平面的相对位置49

4.2 平面束 平面把 直线把49

4.3 三个平面的相对位置53

结束语60

第三章矢量的数积和矢积 直角坐标系下的直线和平面62

1 数积62

1.1 矢量数积的定义62

1.2 数积运算规律63

2 矢积68

2.1 两矢矢积的定义和推论68

2.2 矢积运算规律68

3 三矢混合积73

4 三矢矢积 拉格朗日恒等式76

4.1 三矢矢积76

4.2 拉格朗日恒等式78

5.1 坐标系的建立80

5 空间直角坐标系80

5.2 对称点 正投影81

5.3 矢量运算在直角坐标系下的表示式81

5.4 直角坐标系作图法85

6 角度 距离87

6.1 方向角 方向余弦 方向系数87

6.2 平面的法矢87

6.3 角度88

6.4 距离89

7.1 平面法方程94

7 平面法方程94

7.2 化普遍方程为法方程96

7.3 平面到点的有向距离97

结束语99

第四章几种常见的曲面101

1 柱面101

1.1 几种二阶柱面101

1.2 一般柱面106

2 锥面109

2.1 圆锥面110

2.2 一般锥面111

3 回转面119

4 椭圆面125

5 双曲面131

5.1 单叶双曲面131

5.2 双叶双曲面134

6 二阶锥面136

6.1 二阶锥面的标准方程136

6.2 二阶锥面作为双曲面的渐近锥面137

7 抛物面138

7.1 椭圆抛物面138

7.2 双曲抛物面140

8.1 单叶双曲面作为二阶直纹面143

8 二阶直纹面143

8.2 双曲抛物面作为二阶直纹面147

9 曲面和曲线的表示法153

9.1 关于曲面和曲线方程的一般概念153

9.2 曲面和曲线的参数方程155

9.3 由曲线产生的曲面158

结束语163

第五章坐标变换与线性变换164

1 矩阵165

1.1 矩阵的定义165

1.2 矩阵的乘法166

1.3 矩阵乘法的结合律169

2.1 底矢变换172

2 仿射坐标变换172

2.2 矢的分量变换175

2.3 点的坐标变换176

3 直角坐标变换185

3.1 底矢变换185

3.2 矢的分量变换188

3.3 点的坐标变换189

4 齐次线性变换199

4.1 齐次线性变换乘法200

4.2 逆变换202

4.3 变换群 齐次线性变换群 齐次正交变换群204

5 线性变换214

5.1 线性变换乘法215

5.2 满秩线性变换的逆变换216

5.3 线性变换群与正交变换群217

结束语219

第六章仿射和直角坐标系下的二阶曲面221

前言221

1 二阶曲面和直线的交点225

2 在仿射坐标系下，对二阶曲面的考察227

2.1 切线，切面和极面，奇点227

2.2 切锥面和切柱面232

2.3 渐近方向和中心233

2.4 共轭直径面和奇向239

2.5 共轭方向和共轭直径243

3 二阶曲面的仿射标准方程250

3.1 中心曲面(r=3)250

3.2 r=2的无心曲面252

3.3 (r=2的)线心曲面253

3.4 r=1的无心曲面254

3.5 (r=1的)面心曲面256

4 在直角坐标系下，对二阶曲面的考察260

4.1 主方向和主直径261

4.2 (正交)不变量和半不变量264

4.3 互相垂直又互相共轭的主方向271

5 二阶曲面的(度量)标准方程276

5.1 中心曲面(r=3)277

5.2 r=2的无心曲面278

5.3 (r=2的)线心曲面279

5.4 r=1的无心曲面281

5.5 (r=1的)面心曲面281

结束语287

第七章欧氏几何与仿射几何291

1 刚体运动292

1.1 刚体运动的变换公式293

1.2 刚体运动的分解294

2.2 等距变换297

2.1 反射297

2 等距变换 欧氏几何297

2.3 图形的等价与分类300

2.4 二阶曲面的度量分类300

3 仿射变换301

4 仿射几何305

5 仿射变换的分解309

6 二阶曲面的仿射分类313

结束语314

第八章射影几何简介317

1 扩大空间与射影空间317

1.1 扩大直线与射影直线317

1.2 扩大平面与射影平面319

1.3 扩大空间与射影空间321

2 对偶原则326

2.1 结合关系326

2.2 对偶原则328

3 射影坐标与射影坐标变换338

3.1 直线上的射影坐标338

3.2 空间的射影坐标339

3.3 射影坐标变换341

4 射影变换与射影几何346

4.1 射影变换与射影群346

4.2 射影性质与射影几何349

4.3 关于射影变换的基本定理351

5 交比354

5.1 直线上的交比354

5.2 面束和线束中的交比359

5.3 交比作为射影不变量360

5.4 经过投影截影交比的不变性361

5.5 欧氏空间中交比的几何意义364

5.6 调和比366

6 二阶曲面376

6.1 有关二阶曲面的若干射影概念377

6.2 扩大空间二阶曲面和无穷远元素的关系383

6.3 从扩大空间看二阶曲面的仿射分类385

6.4 无穷远圆388

6.5 二阶曲面的射影分类389

7 从复空间二阶曲面的射影分类谈起395

结束语398

1.关于变换群与几何学398

2.关于对偶原则399

3.关于二阶曲面400

4.关于两个二阶曲面的交线401

5.关于直线坐标403

6.关于欧氏几何与非欧几何404

7.关于射影几何基础与n维射影几何406

名词索引409