《高等几何学习指南》

第一课：导论1

1. 关于几何学的定义问题2

2. 几何学所使用的方法6

3. 几何元素及其坐标8

4. 关于几何学的维9

5. 射影几何学的沿革11

6. 导言课的教学是一个不可缺少的环节12

第二课：仿射几何的基本概念13

1. 仿射变换的定义13

2. 仿射变换的合成13

3. 透视仿射变换下的对应图形14

4. 仿射变换的代数表示及有关习题16

第三课：射影空间的构造21

1. 中心射影法与无穷远元素21

2. 解释用的模型24

3. 例题与习题27

第四课：一维射影几何学33

1. 研究的主要对象33

2. 关于交比33

3. 射影交换的定义37

4. 关于透视对应39

5. 关于对合对应39

6. 补充教材41

7. 例题与习题46

1. Desargues定理67

第五课：几个著名的定理及其应用67

2. 完全四点形与完全四线形68

3. 关于Desargues定理的一些补充材料70

4. 例题与习题72

第六课：射影坐标系与射影变换92

1. 射影坐标系92

2. 平面内的射影变换98

3. 例题与习题99

第七课：几何学的群论原则、变换群122

1. 变换群的概念123

2. 射影几何和它的群123

3. 仿射几何和它的群123

5. 各种几何学的比较124

4. 欧氏几何和它的群124

6. 例题与习题125

第八课：一维射影几何学复习提纲137

1. 导论部分137

2. 平面仿射几何部分138

3. 射影空间的构造部分138

4. 一维射影几何学的基本内容139

5. 复习思考题144

6. 几个值得进一步讨论的问题146

〔问题1〕平面射影几何基本定理的另证146

〔问题2〕有关点曲线与线曲线的问题150

〔问题3〕关于对偶原理的有关问题154

〔问题4〕关于交比的一些问题160

1. 二阶曲线与二级线束的定义167

第九课：二阶曲线与二级线束167

2. 二次曲线的基本定理169

3. Pascal定理与Brianchon定理171

4. 二阶曲线与二级线束的关系175

5. 二次曲线上的射影对应176

6. 例题选讲178

7. 习题及解答181

第十课：二次曲线的配极对应207

1. 极点与极线207

2. 配极对应209

3. Hesse定理211

4. 例题选讲216

5. 习题及解答222

6. 问题的提出236

7. 有关的结论239

8. 有关二阶曲线的极点的定义240

9. 平面上的配极变换241

10. 有关配极共轭关系244

第十一课：二次曲线的射影分类246

1. 二阶曲线的射影分类246

2. 几个典型的化简实例249

〔例1〕坐标三角形与曲线相切的情形249

〔例2〕坐标三角形有两边与曲线相切时252

〔例3〕任意选取二阶曲线的一个自配极三角形为坐标三角形时253

〔例4〕用几种不同方法化简的范例257

1. 仿射平面和仿射变换261

第十二课：二阶曲线的仿射性和度量性261

2. 二阶曲线的仿射性262

3. 圆锥曲线的中心、渐近线和直径263

4. 二阶曲线的仿射分类表265

5. 仿射么模群、面积267

6. 二阶曲线的度量性271

第十三课：二维射影几何学复习提纲276

1. 古典射影几何的基本问题276

2. 二次形象的射影性质280

3. 配极对应284

4. 射影分类287

5. 二次形象的射影生成法288

6. 二阶曲线的仿射性质和度量性质303

1. 关于仿射几何的基本概念的例题308

第十四课：总复习例题选讲308

2. 一维射影几何学的有关例题313

(包括有关中心射影、无穷远元素、交比、透视对应、射影对应、对合对应以及若干个重要的作图问题的举例等.)340

3. 有关Desargues定理的应用举例340

(包括共点共线问题以及不可到达点的作图问题等.)345

4. 有关射影坐标与射影变换的例题345

(包括射影坐标、三线坐标、重心坐标、坐标变换、射影变换以及如何求射影变换下的固定元素等.)362

5. 有关变换群与几何学的例题362

6. 有关二次曲线的射影理论的例题367

(包括二次曲线的极点、极线、接触点、二级线束的包络、射影生成法、配极变换等有关理论和计算等.)387

第十五课：几点注记388

1. 关于Pascal构形的探讨388

2. 关于Pappus定理的证明395

3. 关于对偶原理的证明398