《特殊函数及其应用》

第一章 Γ-函数和B-函数1

1 Γ-函数及其基本性质1

1.1 含复参变量广义积分确定的函数的解析性1

1.2 Γ-函数的定义及其解析性2

1.3 Γ-函数的解析延拓2

1.4 Γ-函数的基本公式4

1.5 Γ-函数的对数导数7

1.6 Γ-函数的渐近公式8

2 B-函数9

2.1 B-函数的定义9

2.2 B-函数与Γ-函数的联系10

第二章 勒让德多项式及其应用12

1 幂级数解法12

1.1 解析点附近解的存在性与唯一性定理12

1.2 幂级数解法12

1.3 勒让德方程的有界解13

2 勒让德多项式的引入21

2.1 本征值问题的提出21

2.2 本征值问题的解23

2.3 Pi（x）的微分表达式与积分表达式25

3 勒让德多项式的基本性质28

3.1 Pi（x）的母函数28

3.2 Pi（x）的递推公式31

3.3 Pi（x）的正交性与模34

3.4 按勒让德多项式展开的收敛定理36

4 关于勒让德多项式的应用45

4.1 模型问题的解45

4.2 均匀场中介质球的电场46

4.3 点电荷影响下介质球的电场49

第三章 球函数及其应用55

1 连带（缔合）勒让德函数55

1.1 连带勒让德函数的引入56

1.2 连带勒让德函数的正交性和模59

1.3 按连带勒让德函数展开的收敛定理62

2 球函数64

2.1 球函数的引入64

2.2 球函数的正交性和模66

2.3 关于球函数的展开定理70

2.4 加法公式74

3 球函数的应用81

3.1 球内第一边值问题的解81

3.2 球内第二边值问题的解83

3.3 加法公式的应用85

第四章 贝塞尔函数及其应用89

1 第一类贝塞尔函数89

1.1 正则奇点附近解的结构定理89

1.2 第一类贝塞尔函数90

2 第二类贝塞尔函数99

2.1 级数型的第二类贝塞尔函数99

2.2 按不定型引进的第二类贝塞尔函数107

3 第一、二类贝塞尔函数的基本性质115

3.1 递推公式115

3.2 母函数与加法公式117

3.3 积分表达式和渐近表达式120

3.4 零点的分布123

3.5 正交性、模与展开定理127

4 关于贝塞尔函数的应用133

4.1 圆膜振动问题的解133

4.2 具轴对称的圆膜振动问题的解138

4.3 一个引理139

4.4 圆域上热传导的第二边值问题141

第五章 常微分方程的本征值问题147

1 广义傅立叶级数147

1.1 正交、归一化系147

1.2 施密特正交化方法149

1.3 广义傅立叶级数和收敛的概念151

1.4 完全系（统）的概念及其判别153

2 本征值问题中的名称和概念155

2.1 斯特姆-刘维尔型方程155

2.2 斯特姆-刘维尔型问题156

2.3 奇异的斯特姆-刘维尔问题157

2.4 周期的斯特姆-刘维尔问题158

3 关于斯特姆-刘维尔问题的结论158

3.1 本征函数的性质158

3.2 本征值和本征展开161

第六章 厄密多项式和拉革尔多项式163

1 厄密多项式163

1.1 本征值问题163

1.2 厄密方程的解164

1.3 本征值问题的解166

1.4 厄密多项式167

1.5 母函数与微分表达式168

1.6 正交性、模与展开定理171

2 拉革尔多项式175

2.1 拉革尔多项式的引入176

2.2 母函数与微分表达式178

2.3 正交性、模与展开定理181

3 广义拉革尔多项式182

3.1 奇异S-L问题（3.1）-（3.2）的解182

3.2 母函数与微分表达式185

3.3 递推公式186

3.4 正交性、模与展开定理190

第七章 附录195

1 带复参量的积分195

1.1 有穷限的带复参变量的积分195

1.2 无穷限的带复参变量的积分197

2 解析点附近解的结构定理201

2.1 基本引理201

2.2 解析点附近解的结构定理207

3 第二章极限式（1.26）的证明207

3.1 极限lim k→∞Ik=A＞0的证明207

3.2 极限lim k→∞Jk=p＞0的证明210

4 正则奇点附近解的结构定理211

5 其它类型的贝塞尔函数221

5.1 汉克尔函数H（1）v（z）、H（2）v（z）221

5.2 虚宗量贝塞尔函数Iv（z）和Kv（z）222

5.3 球贝塞尔函数226

6 斯特姆-刘维尔问题的结果及其证明229

6.1 用泛函等式描述的本征函数的性质230

6.2 极值函数与本征函数231

6.3 求一般本征值的库朗定理235

6.4 本征值的比较定理238

6.5 S-L问题的结果及其证明241

答案与提示249