《特殊函数》

前言1

预备知识1

1 幂级数(Maclaurin-Taylor级数)1

2 级数的收敛性3

3 二阶齐次线性常微分方程6

4 Г函数(第二类Euler积分)8

5 В函数(第一类Euler积分)10

6 Cauchy积分公式11

第一章 常微分方程的幂级数解法和特殊函数的引入12

1 方程的常点与奇点12

2 Frobenius-Fuchs定理17

3 常点邻域内方程的幂级数解21

4 正则奇点邻域内方程的正则解52

5 非正则奇点邻域的正则形式解99

6 特殊函数的分类101

习题102

第二章 Fuchs型方程和Riemann P符号及其变换107

1 Fuchs型方程107

2 Ricmann P符号及其变换118

3 超比方程的其它解用超比函数表示131

4 广义超比函数138

5 两个自变量的超比函数--Appell函数140

6 级数求和变量的代换142

习题144

第三章 常微分方程的本征值问题149

1 问题的提出与本征值问题的概念149

2 一般带参数λ的方程化为S-L型151

3 S-L型方程常用的几个条件163

4 S-L型方程本征值问题的基本定理165

5 S-L型方程本征值问题的自伴性174

6 S-L型方程本征值问题的求解177

习题229

1 Legendre多项式231

第四章 Legendre函数(球函数)231

2 连带Legendre函数262

3 球谐函数282

4 旋转椭球波函数293

5 Hough函数298

习题308

第五章 Tschebyscheff函数314

1 Tschebyscheff多项式314

2 第二类Tschebyscheff函数331

3 第二类Tschebyscheff多项式346

习题360

1 Hermite多项式362

第六章 Hermite函数362

2 Weber-Hermite函数383

3 Weber函数(抛物线柱函数)388

习题399

第七章 Bessel函数(柱函数)403

1 Bessel函数403

2 变型Bessel函数448

3 球Bessel函数464

4 柱函数的应用484

习题500

1 超比(超几何)函数(Gauss函数)509

第八章 超比函数和合流超比函数509

2 合流超比(超几何)函数(Kummer函数)537

3 Whittaker函数551

4 应用560

习题563

第九章 Laguerre函数571

1 Sonine多项式(广义Laguerre多项式)571

2 Laguerre多项式585

3 连带Laguerre多项式590

习题599

1 超比多项式和Jacobi多项式603

第十章 超球函数603

2 广义超球多项式和超球多项式621

3 Gegenbauer多项式632

习题650

第十一章 椭圆函数656

1 椭圆积分656

2 Jacobi椭圆函数690

3 Weierstrass椭圆函数745

习题749

1 Mathieu方程760

第十二章 Mathieu函数760

2 基本解761

3 Floguet解765

4 周期解--本征值问题768

5 Mathieu函数771

6 λ(q)，А(q)和В(q)的确定775

7 稳定解与不稳定解781

8 λ>>q>0时Mathieu方程的近似解782

9 变型Mathieu方程784

10 Hill方程785

习题786

参考书目789