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第一章绪论1

1.1 数学场论2

一 标量场 u＝u(x，y，z) 的梯度2

二 矢量场→A＝Ax→i+Ay→j+Az→R 的散度3

三 矢量场→A＝Ax→i+Ay→j+Az→R 的旋度5

四 有势场(保守场)6

五 管形场(无源场)7

六 劈形算符7

七 格林公式8

1.2 正交曲线坐标系9

一 一般正交曲线坐标系9

二 球面坐标 r，θ，?12

三 柱面坐标 ρ，?，z15

四 其它正交曲线坐标系17

1.3 数学物理方程22

一 定解问题22

二 数学物理方程的导出23

1.4 分离变数法与特殊函数常微分方程28

第二章若干常用函数41

2.1 高斯函数和误差函数41

2.2 Γ 函数(第二类尤拉积分)42

2.3 β 函数(第一类尤拉积分)49

2.4 复变数的 Γ 函数和 β 函数53

第三章贝塞尔 (Bessel) 函数57

3.1 第一类贝塞尔函数 Jn(x)，(2n≠整数)58

3.2 第二类贝塞尔函数〔yn(x)〕61

3.3 第三类贝塞尔函数(汉克尔函数)H(1)n(x)·H(2)n(x)67

3.4 贝塞尔函数的性质70

一 递推公式70

二 本征值和零点71

三 贝塞尔函数的正交关系74

四 贝塞尔函数的模77

五 富里哀—贝塞尔级数79

3.5 Jn(x) 的母函数与加法公式80

3.6 球贝塞尔函数 je(x)，ne(x)，he(1)(x)，he(2)(x)82

一 定义82

三 半奇数阶贝塞尔函数84

二 本征值问题84

3.7 变形(虚宗量)贝塞尔函数 (In(x))86

一 定义86

二 性质88

3.8 开耳芬 (Kelvin) 函数92

3.9 贝塞尔函数的积分公式94

3.10 含贝塞尔函数的定积分97

一 第一索宁 (Sonine) 有限积分公式97

二 韦伯-李普兹希积分公式98

3.11 可以化为贝塞尔方程的微分方程103

3.12 贝塞尔函数的渐近表达式和数字计算示例107

第四章贝塞尔函数的应用111

4.1 两种不同电导率空间中点源场的值111

4.2 具有 n 层电性水平层的地表面点源场的电位分布118

4.3 半空间电性层电导率随深度变化时点源场的电位分布130

4.4 中间层电导率 (σ2) 变化的三层水平层点电源的电位分布135

4.5 在非均匀的各向异性地层中点电源的位142

4.6 在钻井中点电极的电位分位147

4.7 均匀交变电磁场中水平园柱体的解152

4.8 地面导线环电流产生的电磁场159

4.9 交流电通过园柱体的趋肤效应167

4.10 垂直磁偶极子的场强矢量表达式173

4.11 园盘形的接地电阻180

第五章勒让德 (Legendre) 函数183

5.1 二阶常微分方程的级数解法184

一 常点邻域的级数解184

二 正则奇点邻域中的级数解法191

5.2 勒让德多项式196

一 勒让德多项式的微分(洛德利格斯 Rodrigues 公式)和积分(拖列夫利积分、拉普拉斯积分)表示式196

二 勒让德多项式的某些性质198

5.3 勒让德多项式的母函数与递推公式199

一 母函数199

二 递推公式201

5.4 勒让德多项式的正交性203

一 正交关系203

二 勒让德多项式的模204

三 广义富里哀级数205

5.5 缔合勒让德函数207

一 缔合勒让德函数的引出207

二 缔合勒让德函数的微分，积分表达式210

三 递推公式212

四 缔合勒让德函数的正交性213

5.6 球函数218

5.7 勒让德多项式的根及零值224

5.8 函数展为勒让德多项式表示的级数226

5.9 斯特姆—刘维本征值问题228

第六章勒让德函数的应用236

6.1 均匀电流场中的导体球236

一 供电极在球外的情形242

6.2 在点源电流场中的导体球242

二 理想导体球的情况245

三 供电极在半球形域外的视电阻率248

四 供电极在球内的情形253

五 供电极在半球形域内的视电阻率259

6.3 圆环和圆盘的位262

6.4 高斯地磁理论265

6.5 通过两接地点电极的直流场269

6.6 物质体的引力位272

6.7 点电源场中的多层浸染球壳的电位分布276

6.8 均匀“极化”球体的电场282

6.9 波动方程的空间形式解285

第七章拉米函数293

7.1 椭球坐标293

7.2 椭球坐标系中的拉普拉斯方程表达式296

7.3 拉米方程300

7.4 拉米方程的积分302

7.5 拉米函数的正交性310

7.6 按照拉米函数展开的级数313

7.7 第二类拉米函数315

7.8 椭球内部与外部的位函数319

第八章拉米函数的应用327

8.1 均匀椭球体在均匀磁场中的磁化强度327

8.2 均匀电场中椭球体的位343

8.3 椭球体电容的测定349

第九章运算微积及其应用354

9.1 傅里叶变换(富氏变换)354

一 傅里叶级数与傅里叶积分354

二 傅里叶变换359

三 举例360

9.2 傅里叶变换的性质364

一 线性364

二 平移364

六 积分365

九 奇偶虚实365

八 共轭365

七 对称(或对偶)365

五 微分365

四 翻转365

三 伸缩365

十 卷积(或褶积)366

十一 巴什瓦等式与能谱密变366

9.3 δ 函数和它的傅里叶变换368

一 脉冲函数与 δ 函数368

二 δ 函数的基本性质370

三 δ 函数的傅里叶变换370

9.4 二维、三维傅里叶变换373

9.5 微分方程的富氏变换法376

9.6 离散傅里叶变换386

一 无限离散序列386

二 有限离散序列389

三 离散傅里叶变换与褶积393

四 二维有限离散傅里叶变换395

9.7 傅里叶变换与线性滤波396

一 线性平移不变滤波器396

二 脉冲响应函数与传输函数397

三 滤波的运算方法398

9.8 傅里叶变换在位场转换中的应用399

一 重力位场的变换400

二 磁力位场的变换404

9.9 拉普拉斯变换(拉氏变换)408

一 从富氏变换到拉氏变换408

二 拉氏变换的存在问题410

三 反拉氏变换，复反演积分的级数公式411

9.10 拉氏变换的性质415

9.11 微分方程拉氏变换解法418

参考文献422