《数学物理方程及特殊函数》

第一章 方程的建立和定解问题1

1 方程的建立和定解问题1

1.1 弦的横振动1

1.2 杆的纵振动6

前言7

1.3 热传导问题11

1.4 定解问题小结17

1.5 定解问题的适定性19

2 一维无界弦振动的初值问题 行波概念20

习题27

第二章 用分离变量法求解混合问题29

1 分离变量法举例29

1.1 两端固定的有界弦的自由振动29

1.2 两端自由的杆的纵振动39

1.3 单簧管内的气柱振动42

2 函数空间L2［a，b］中的函数依某一个完备正交组作广义傅氏展开43

2.1 函数序列{Fm(x)}与函数f(x)的逼近和收剑于f(x)的不同尺度43

2.2 定义了内积的函数空间L2［a，b］45

2.3 标准正交组和广义博氏级数49

3.1 概念和定理54

3 两种边界条件下的本征值问题54

3.2 一维热传导方程的第三边值问题57

3.3 亥姆霍兹方程的边值问题61

4 非齐次方程解法--本征函数法62

4.1 非齐次方程、齐次边界条件62

4.2 非齐次边界条件的处理66

4.3 在第一边值条件下弦振动解的唯一性71

4.4 方程中含有未知函数线性项的定解问题74

5 圆域内、外拉普拉斯方程的定解问题77

5.1 圆内狄氏问题77

5.2 圆外狄氏问题85

5.3 圆内牛曼问题91

5.4 圆外牛曼问题95

5.5 关于三维空间拉普拉斯方程定解问题的附言97

习题97

第三章 求解亥姆霍兹方程边值问题的准备知识102

1 柱、球坐标系中亥氏方程分离变量102

1.1 柱坐标系中亥氏方程分离变量102

1.2 球坐标系中亥氏方程分离变量105

2.1 变系数方程的常点与解析解110

2 变系数方程级数解的性质110

2.2 变系数方程的寄点、正则奇点与正则解113

2.3 变系数方程在无穷远点邻域内的解118

3 S-L--斯特姆-刘维问题121

3.1 S-L问题及其方程的一般形式121

3.2 S-L问题的自共轭概念和定理123

3.3 有限区间(a，b)上S-L问题的自共轭性126

习题130

1 贝塞尔方程求解132

1.1 r函数132

第四章 贝塞尔函数及其应用132

1.2 求解贝塞尔方程135

2 贝塞尔函数在(0，+∞)内的变化性态144

2.1 J？(x)在(0，+∞)内的变化性态145

2.2 Y？(x)在(0，+∞)内的变化性态148

2.3 举例149

3 贝塞尔函数的递推公式、半奇数贝塞尔函数153

3.1 递推公式及其应用153

3.2 半奇数贝塞尔函数的初等函数表示155

3.3 ι阶球贝塞尔函数的定义式158

4.1 区间［0，a］上的本征值问题160

4 贝塞尔方程的本征值问题及其应用160

4.2 应用问题举例166

4.3 柱坐标系中高维问题的说明176

4.4 ［a，b］上的本征值问题177

5 第三类贝塞尔函数--汉克尔函数180

5.1 贝塞尔方程复数形式的特解--第三类贝塞尔函数180

5.2 应用举例182

6 虚变量贝塞尔方程及其它变形贝塞尔方程186

6.1 虚变量贝塞尔方程及虚变量贝塞尔函数186

6.2 应用举例191

6.3 开尔文方程及其它可化为贝塞尔方程的方程195

7 J?(x)的生成公式及其应用197

7.1 J?(x)的生成公式197

7.2 生成公式的应用--把平面波展开为柱面波的叠加200

8 含贝塞尔函数的积分举例203

习题206

第五章 勒让特函数、球贝塞尔函数及其应用211

1 勒让特多项式Pι(x)或Pι(cosθ)211

1.1 确定勒让特多项式的本征值问题211

1.2 Pι(x)的微分表示式及{Pι(x)}(或{Pι(cosθ)})的完备正交性219

2 Pι(x)的生成公式及其递推公式223

2.1 Pι(x)(或Pι(cosθ))的生成公式223

2.2 Pι(x)的递推公式、积分举例227

3 应用问题举例231

4 连带勒让特函数？(s)或？(cosθ)239

4.1 确定连带勒让特函数的本征值问题239

4.2 {？(x)}或{？(cosθ)}的完备正交性243

5.1 球面函数 S？(θ，？)244

5 球面函数S？(θ，？)及其应用244

5.2 应用问题举例250

5.3 P？(x)及S？(θ，？)的复数形式251

5.4 球面函数的加法公式253

6 球贝塞尔函数及其应用256

6.1 ι阶球贝塞尔函数及其在(0，+∞)内的主要性态256

6.2 ［0，a］上ι阶球贝塞尔方程的S-L问题259

6.3 平面波展开为球面波261

习题265

1 傅氏积分变换268

1.1 从傅氏级数到傅氏积分268

第六章 积分变换268

1.2 傅氏积分变换及其运算性质273

1.3 用傅氏变换求解无界空间的初值问题280

1.4 多重傅氏变换282

1.5 零阶汉克尔变换287

1.6 零阶球贝塞尔变换295

2 拉氏变换300

2.1 拉氏变换的定义和有关概念300

2.2 拉氏变换的运算性质305

2.3 应用举例309

2.4 用逆变换积分求原象313

习题317

第七章 δ函数和格林函数322

1 δ函数322

1.1 δ函数的概念322

1.2 δ函数的运算性质和积分变换327

1.3 应用举例332

1.4 多维空间中的δ函数333

2 点源在无界空间中形成的场--基本解概念及其应用343

2.1 算符“？2”在无界空间中的基本解343

2.2 算符“？2+k2”(k2>0)在无界空间中的基本解349

2.3 一维无界空间中热传导问题的基本解352

2.4 一维无界空间中的波动方程357

2.5 高维无界空间中的波动方程368

3 在一定边界条件下，算符“？2”的格林函数377

3.1 基本概念和基本公式377

3.2 用镜象法求格林函数385

3.3 在第二边值条件下，算符“？2”的广义格林函数391

习题396

第八章 变分方法402

1 变分学基本定理402

2 最简变分问题404

3 函数与泛函407

4 赋范线性空间408

5 一阶变分及泛函可微性412

6 Euler-Lagrange方程415

7 举例420

8 自然边界条件423

9 带偏导数的变分问题425

10 解变分问题的直接方法428

习题430

1.1 自变量线性代换后方程系数的变化433

附录1 二阶线方程的化简与分类433

1 二阶常系数线性方程433

1.2 方程的化简与分类437

1.3 通过函数代换化简方程的低阶项440

2 变系数二阶线性方程的化简与分类440

2.1 u=u(x，y)的二阶变系数线性方程440

2.2 u=u(x1，…，x?)的二阶变系数线性方程446

习题447

1 S-L问题边界条件提法的一般说明448

1.1 奇型端点邻域内解的平方可积性448

附录Ⅱ 无穷区间上的S-L问题448

1.2 边界条件的提法453

2 在［0，+∞)上求解确定拉盖尔函数的S-L问题455

2.1 引出确定拉盖尔函数和广义拉盖尔多项式的S-L问题456

2.2 求解确定广义拉盖尔多项式的S-L问题462

2.3 {L？(X)}R 完备正交性465

2.4 拉盖尔函数467

2.5 L？(x)的生成公式468

附表471

习题答案481