《数学物理方程与特殊函数》

第一篇特殊函数2

第一章 线性常微分方程级数解法2

1.1 常点邻域的级数解法3

1.2 正则奇点邻域的级数解法8

习题116

第二章 贝塞尔函数16

2.1 贝塞尔函数17

一、第二类贝塞尔函数17

二、整数阶贝塞尔函数19

三、第三类贝塞尔函数20

四、半奇数阶贝塞尔函数21

2.2 递推公式——不同阶贝塞尔函数的关系22

2.3 贝塞尔函数的母函数(生成函数)26

2.4 贝塞尔函数的零点28

2.5 函数的付立叶-贝塞尔级数32

一、第一类贝塞尔函数的正交性33

二、第一类贝塞尔函数的模35

三、付立叶-贝塞尔级数37

2.6 变型的贝塞尔函数41

一、虚宗量的贝塞尔函数41

二、汤姆森函数43

习题244

3.1 勒让德多项式的定义48

第三章 勒让德多项式48

3.2 勒让德多项式的母函数50

一、勒让德多项式的母函数50

二、勒让德多项式的性质51

3.3 勒让德多项式的正交性与付立叶-勒让德级数52

一、勒让德多项式的正交性52

二、勒让德多项式的模54

三、付立叶-勒让德级数54

3.4 递推公式和微分方程56

3.5 缔合勒让德多项式58

一、缔合勒让德多项式59

二、缔合勒让德多项式的母函数61

三、缔合勒让德多项式的正交性62

习题363

第四章 其它正交多项式64

4.1 正交多项式的一般性质65

一、概述65

二、正交化66

三、正交多项式的存在性与唯一性68

四、函数按正交多项式展为付立叶级数72

4.2 契比雪夫多项式74

一、契比雪夫多项式的定义74

四、契比雪夫多项式所满足的微分方程76

二、契比雪夫多项式的母函数76

三、契比雪夫多项式的递推公式76

五、付立叶-契比雪夫多项式级数77

4.3 厄密特多项式79

一、厄密特多项式的定义79

二、厄密特多项式的母函数80

三、厄密特多项式的递推公式80

四、厄密特多项式所满足的微分方程81

五、付立叶-厄密特多项式级数82

一、拉盖尔多项式的定义84

二、拉盖尔多项式的母函数84

4.4 拉盖尔多项式84

三、拉盖尔多项式所满足的微分方程86

四、付立叶-拉盖尔多项式级数86

五、广义拉盖尔多项式87

4.5 经典正交多项式小结90

习题492

第五章 哈尔函数与沃尔什函数简介94

5.1 哈尔函数系95

一、哈尔函数的定义95

二、哈尔函数系的正交性98

三、付立叶-哈尔级数99

一、沃尔什函数的定义100

5.2 沃尔什函数100

二、沃尔什函数的定序方法103

三、沃尔什函数的正交性和付立叶-沃尔什级数106

第二篇数学物理方程112

第一章 定解问题112

1.1 偏微分方程的一般概念112

习题1.1116

1.2 二阶线性偏微分方程的分类117

一、两个自变量函数的二阶线性方程117

二、多个自变量函数的二阶线性方程124

习题1.2129

三、二阶常系数线性方程129

1.3 数学模型——定解问题130

一、三类典型方程的建立130

二、定解条件139

习题1.3144

1.4 定解问题的提法及适定性145

一、定解问题的提法146

二、定解问题的适定性146

第二章 分离变量法150

2.1 分离变量151

一、齐次方程的定解问题153

2.2 直角坐标系下的分离变量法153

二、非齐次方程的定解问题163

三、非齐次边界条件的齐次化167

四、混合问题解的适定性170

习题2.2176

2.3 极、柱坐标系下的分离变量法179

一、圆域上的定解问题180

二、圆柱内的定解问题187

习题2.3195

2.4 球坐标系下的分离变量法197

习题2.4203

一、斯图姆-刘维尔问题的提法204

2.5 斯图姆-刘维尔问题204

二.斯图姆-刘维尔问题的理论207

三、多维斯图姆-刘维尔问题211

第三章 行波法215

3.1 初值问题的提法215

3.2 一维波动方程的初值问题216

一、达朗贝尔公式216

二、解的物理意义219

三、依赖区域，影响区域和决定区域225

四、半无界问题227

习题3.2232

3.3 高维波动方程的初值问题233

一、球对称三维波动方程的解234

二、三维波动方程的泊松公式234

三、二维波动方程的泊松公式239

四、解的物理意义241

五、依赖区域、影响区域和决定区域242

习题3.3245

3.4 拉普拉斯双曲型方程的特征初值和柯西问题246

一、特征初值问题的特征线法246

二、柯西问题的黎曼方法250

习题3.4255

第四章 点源法257

4.1 δ-函数257

习题4.1262

4.2 广义函数的概念263

一、泛函的概念263

二、广义函数264

三、δ函数265

四、广义函数的性质267

4.3 基本解267

一、波动方程初值问题的基本解268

二、热传导方程的基本解270

三、拉普拉斯方程的基本解271

习题4.3273

4.4 冲量定理法及非齐次方程的格林函数法273

一、冲量定理法274

二、非齐次方程的格林函数法279

习题4.4283

4.5 拉普拉斯方程的格林函数法285

一、格林公式285

二、调和函数的性质288

三、格林函数289

四、拉普拉斯方程的两个狄里赫莱问题292

习题4.6296

第五章 积分变换法297

5.1 付立叶变换297

一、付氏变换的定义298

二、付氏变换的性质300

习题5.1303

5.2 拉普拉斯变换304

一、拉氏变换的定义304

二、拉氏变换的性质307

习题5.2315

5.3 积分变换在解定解问题中的应用316

一、付氏变换解定解问题317

二、拉氏变换解定解问题326

习题5.3333

第六章 一阶偏微分方程和方程组334

6.1 一阶线性和拟线性偏微分方程334

一、常微分方程组的首次积分334

二、特征线及一阶偏微分方程的求解338

三、柯西问题341

四、n个自变量的情形346

习题6.1347

6.2 两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论349

一、特征理论349

二、线性方程组的特征理论351

三、两个自变量的一阶线性偏微分方程组的分类353

四、狭义双曲型方程化为对角型354

五、两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题357

习题6.2361

附录Ⅰ 第一、二类贝塞尔函数表362

附录Ⅱ 贝塞尔函数零点表363

附录Ⅲ 正交曲线坐标系中的拉普拉斯算符363

附录Ⅳ 付立叶变换简表367

附录Ⅴ 拉普拉斯变换简表368

附录Ⅵ 人名对照表370

习题参考答案371