《数学物理方程和特殊函数》

第一篇数学物理方程1

第一章 二阶线性偏微分方程及其分类1

§1.1 方程的一般概述1

§1.2 几个问题的提出2

§1.3 方程的分类4

习题14

第二章 波动方程16

§2.1 定解问题的导出16

§2.1.1 弦振动方程16

§2.1.2 膜振动方程20

§2.1.3 电磁波方程21

习题23

§2.2 一维波动方程的柯西问题24

§2.2.1 无界弦振动的柯西问题的解25

§2.2.2 解的适定性论证27

§2.2.3 解的意义29

§2.2.4 半无界弦与延拓法33

§2.2.5 非齐次方程的柯西问题35

习题39

§2.3 高维波动方程柯西问题40

§2.3.1 平均值法与泊松公式41

§2.3.2 二维波动方程柯西问题·降维法46

§2.3.3 解的物理意义47

§2.3.4 非齐次波动方程的柯西问题50

习题52

第三章 扩散方程·积分变换法55

§3.1 定解问题的建立55

§3.1.1 方程的导出55

§3.1.2 定解条件59

§3.2.1 傅里叶变换法60

§3.2 积分变换求解法60

§3.2.2 拉普拉斯变换法65

习题69

第四章 位势方程·格林函数法72

§4.1 定解问题的提法72

§4.1.1 方程的导出72

§4.1.2 边界条件的提法73

§4.2 基本公式73

§4.2.1 格林第一、第二公式73

§4.2.2 调和方程的基本解76

§4.2.3 基本积分公式77

习题81

§4.3 格林函数及其应用82

§4.3.1 问题的引入82

§4.3.2 格林函数的性质85

§4.3.3 格林函数解法的意义88

§4.3.4 格林函数的物理意义及镜象法89

§4.3.5 格林函数解法应用91

§4.4 解的适定性讨论96

§4.4.1 极值原理97

§4.4.2 存在性定理98

§4.4.3 唯一性与稳定性定理99

习题100

第五章 δ-函数·基本解·解102

§5.1 δ-函数102

§5.1.1 δ-函数的定义102

§5.1.2 δ-函数的性质104

§5.1.3 高维δ-函数108

§5.2 广义函数108

§5.2.1 泛函的概念108

§5.2.2 广义函数109

§5.3 基本解·解113

§5.3.1 基本解的概念113

§5.3.2 解的性质113

§5.3.3 偏微分方程的基本解·解114

习题120

第六章 分离变量法·本征值理论123

§6.1 一维混合问题123

§6.1.1 齐次波动方程123

§6.1.2 齐次扩散方程133

§6.1.3 非齐次问题的处理135

习题139

§6.2 高维混合问题141

§6.2.1 二维问题的解141

§6.2.2 三维方程的分离变量法147

§6.3 本征值理论151

§6.3.1 问题的引入151

§6.3.2 本征值理论154

§6.3.3 小结158

习题161

§7.1 变分问题162

§7.1.1 泛函的变分162

第七章 变分问题和有限元法162

§7.1.2 泛函的极值163

§7.1.3 变分法165

§6.1.4 变分原理168

§7.2 有限元法172

§7.2.1 有限元法的基本原理172

§7.2.2 过程分折183

§8.1 方程及其常点和奇点185

第八章 二阶线性常微分方程的级数解185

第二篇殊特函数185

§8.2 方程在其常点邻域内解的性质186

§8.3 方程在其正则奇点邻域内的解187

习题191

第九章 勒让德多项式·球函数192

§9.1 勒让德多项式192

§9.1.1 勒让德方程的解192

习题193

§9.1.2 勒让德多项式196

§9.1.3 勒让德多项式的表达式200

§9.1.4 勒让德多项式的生成函数·递推公式202

§9.1.5 勒让德方程的本征值问题208

§9.2.1 问题的引入217

§9.2 连带勒让德多项式·球函数217

§9.2.2 几个表达式220

§9.2.3 球函数225

习题229

第十章 贝塞尔函数233

§10.1 贝塞尔方程的解233

§10.1.1 方程的级数解233

§10.1.2 第一类贝塞尔函数234

§10.1.3 方程的通解·第二类贝塞尔函数236

§10.2.1 微分关系和递推公式242

§10.2 贝塞尔函数的性质242

§10.2.2 半奇阶贝塞尔函数244

§10.2.3 贝塞尔函数的生成函数246

§10.2.4 贝塞尔函数的积分表达式248

§10.2.5 加法公式250

§10.3 贝塞尔函数的其他类型及渐近公式253

§10.3.1 汉克尔函数253

§10.3.2 变态贝塞尔函数255

§10.3.3 凯尔文函数261

§10.4.1 贝塞尔函数的零点及其性质262

§10.4 傅里叶-贝塞尔级数262

§10.4.2 贝塞尔函数系的正交归一性264

§10.4.3 完备性266

§10.4.4 应用问题267

§10.5 贝塞尔积分272

§10.5.1 傅里叶-贝塞尔积分272

§10.5.2 含贝塞尔函数的积分274

§10.6 球贝塞尔函数278

§10.6.1 定义及有关表达式278

§10.6.2 傅里叶-球贝塞尔级数281

§10.7 可以化为贝塞尔方程的微分方程284

习题286

第十一章 埃尔米特多项式和拉盖尔多项式291

§11.1 埃尔米特多项式291

§11.1.1 埃尔米特方程及其解291

§11.1.2 埃尔米特多项式的生成函数及有关表达式294

§11.1.3 埃尔米特多项式系的正交归一性296

§11.1.4 应用298

§11.2 拉盖尔多项式300

§11.2.1 拉盖尔方程及其解300

§11.2.2 拉盖尔多项式的生成函数·微分表达式·递推公式301

§11.2.3 斯图姆-刘维尔本征值问题303

习题304

第十二章 超几何函数305

§12.1 超几何方程和超几何函数305

§12.1.1 方程及其级数解305

§12.1.2 超几何函数的性质310

§12.1.3 某些特殊函数的超几何函数表达式313

§12.2 合流超几何函数317

§12.2.1 合流超几何方程及其解317

§12.2.2 库梅函数的两个性质319

§12.2.3 几个特殊函数的库梅函数表达式320

习题323

附录Ⅰ 正交曲线坐标系326

附录Ⅱ 积分变换334

附录Ⅲ Г-函数和B-函数348

附录Ⅳ 正交多项式356

附录Ⅴ 椭圆函数简介364

附录Ⅵ 积分变换表368

附录ⅦJ0(x)=0的根和J1（x）的对应值表373

习题答案374