《勒襄特函数论》求取 ⇩

第一章Γ函数1

1定义1

1.1欧拉常数1

1.2无穷积表示2

1.3极限表示4

2性质4

2.1差分方程4

2.2乘积公式7

2.3二倍公式7

3广义积分表示9

3.1第二种欧拉积分9

3.2与Γ（z）的关系13

3.3实部为负数16

3.4围道积分18

4用〔t〕构造的函数22

4.1实数的整数部分22

4.2函数g（t）的积分23

4.3进一步求积分25

4.4欧拉求和公式27

5史斗林公式28

5.1常用公式28

5.2改进公式35

5.3 Γ（z+λ）/Γ（z）的估计36

5.4当|y|→∞时，|Γ（x+iy）|的估计37

5.5华力斯公式38

6 Γ函数的图形39

6.1x＞0部分39

6.2 x＜0部分40

7 B函数42

7.1第一种欧拉积分42

7.2与Γ函数的关系44

习题一48

第二章超越几何函数51

1超越几何级数51

1.1收敛半径51

1.2在收敛圆上53

1.3 F（a，b;c;1）的值54

2积分表示59

2.1广义积分表示59

2.2围道积分62

3高斯微分方程68

3.1高斯微分方程的解68

3.2解的另一形式70

3.3解的线性关系71

4相邻超越几何函数76

4.1近邻76

4.2远邻80

5级数的变换81

5.1二重级数的重排81

5.2线性变换86

5.3平方变换89

6广义超越几何函数101

6.1定义101

6.2性质103

6.3沙儿修兹恒等式104

6.4菲浦利定理105

习题二109

第三章勒襄特多项式的定义及性质112

1根式的选取112

1.1对数的单值分支112

1.2平方根113

1.3根式1-2zt+t2114

2定义116

2.1 Pn （z）的明显表示116

2.2在一些特殊点处的值118

2.3 Pn（cosθ）的表达式119

3递推公式122

3.1纯粹递推公式122

3.2含有导数的递推公式123

3.3勒襄特微分方程125

4导数表示126

4.1洛巨里格公式126

4.2幂级数反演128

4.3对称表示130

4.4 Pn （z）为勒襄特微分方程解的又一证明131

4.5零点132

5母函数134

5.1定义134

5.2白特门母函数135

5.3含有复参数c的母函数136

习题三139

第四章积分表示141

1拉伯拉斯积分表示141

1.1围道积分141

1.2拉伯拉斯第一积分141

1.3拉伯拉斯第二积分145

2 Pn（cosθ）的积分表示153

2.1麦留积分153

2.2司帝吉斯积分162

3三角级数表示167

3.1正弦级数167

3.2司帝吉斯展开式174

4超越几何函数表示176

4.1展成1-z的多项式176

4.2用zn乘以1/zn的多项式表示178

4.3用（z-1）n乘以z+1/z-1的多项式表示180

4.4用zn乘以z2-1/z2的多项式表示181

习题四181

第五章定积分及导数183

1定积分的值183

1.1∫z2z1Pm（z）Pn（z）dz的值183

1.2正交性184

1.3∫10Pm（x）Pn（x）dx的值185

1.4∫z2z1P2m（z）dz的值185

1.5多项式的勒襄特线性表示187

1.6∫1-1znPm（z）dz的值188

1.7∫1-tP′n（z）Pm（z）dz的值191

1.8∫10{xPn（x）}2dx的值193

1.9∫1-1（1-2xh＋h2）-1/2Pn（x）dx的值194

1.10∫10（1-x2） {P′n （x） }2dx的值196

1.11∫π0Pn（cosθ）cosnθdθ的值197

2广义积分198

2.1∫1-1Pn （x）/（1-x）ωdx（0＜ω＜1）的值198

2.2∫1-1Pn（x）log（1-x）dx的值199

2.3∫10x-1/2Pn（x）dx的值200

3导数202

3.1 Pn（r）（1）的值202

3.2 Pn（r）（cosθ）的表达式203

3.3 Pn（r）（0）的值205

3.4 Pn（r）T（z）用勒襄特多项式乘积的和表示206

4一种正交多项式207

4.1正交性207

4.2∫1-1？2（x）dx的值209

4.3一些性质209

习题五210

第六章零点的分布213

1 Pn（cosθ）的零点分布213

1.1布劳史不等式213

1.2凸序列221

1.3史瑞果不等式226

2 Pn （x）的零点分布231

2.1凸序列231

2.2 Pn （x）与Pn-1（x）的零点分隔232

2.3 xv，n与xv，n-1的距离235

2.4 Pn （x）的最大正零点与1的距离243

2.5 | Pnn （x） |的极大值247

习题六250

第七章不等式251

1杜拉不等式251

1.1叙述251

1.2史瑞果的证明251

1.3爱畏达的证明258

1.4△n（x）的一些性质261

1.5△n（x）的上界262

1.6 y=△n（x）的图形266

1.7南裘帝阿的结果267

2二阶行列式268

2.1符记的引进268

2.2富赛茨不等式268

2.3在（0，1）中变号的情形274

2.4在1＜x＜∞的情形280

3伯恩斯坦不等式283

3.1费玖的证明283

3.2伯恩斯坦的证明293

3.3马里克的证明297

3.4一个类似的不等式298

4 Pn （z）在有沟z面的估计300

4.1符记300

4.2当x＞1时，Pn （x）的估计301

4.3当α＞0时，Pn {cosh （α + iβ）}的估计304

4.4伯恩斯坦方法305

习题七309

第八章渐近表示311

1 Pn（cosθ）的渐近表示311

1.1拉伯拉斯渐近表示311

1.2司帝吉斯渐近表示317

2 Pn （z）的达颇克渐近表示325

2.1简单表示325

2.2一般表示333

习题八340

第九章两种勒襄特函数341

1第一种勒襄特函数341

1.1定义341

1.2微分方程342

1.3递推公式343

2第二种勒襄特函数345

2.1定义345

2.2 Wn-1（z）的勒襄特线性表示350

2.3 Qn （z）的超越几何函数表示352

3 Qn （z）的积分表示360

3.1类石勒夫里积分表示360

3.2类拉伯拉斯积分表示363

3.3牛曼积分表示367

3.4马克洛培特积分表示372

4 Qn（z）的性质375

4.1递推公式375

4.2与Pn（z）的关系377

4.3 Q′n（z）与P′n（z）的关系379

习题九380

第十章连带勒襄特函数382

1定义382

1.1在有沟z面的定义382

1.2在-1＜x＜1中的定义385

1.3导数表示386

1.4P2n（x）391

2递推公式392

2.1对上标m的递推公式392

2.2对下标n的递推公式392

2.3含有导数的递推公式393

3定积分396

3.1正交性396

3.2平方的积分398

3.3积分∫1-1x/1-x2Pmn（x）Pmn+1（x）dx401

4积分表示404

4.1雅谷比引理404

4.2 Pmn （z）的积分表示406

4.3 Qmn （z）的积分表示411

5勒襄特多项式的加法公式415

5.1一个恒等式415

5.2加法公式416

习题十422

第十一章勒襄特级数423

1函数的勒襄特级数表示423

1.1克瑞斯脱费求和公式423

1.2展开定理425

1.3跳跃间断点430

2杂例433

2.1牛曼展开式433

2.2卡他兰展开式443

3改进445

3.1黎曼定理445

3.2定理1的改进447

4勒襄特级数的性质451

4.1绝对收敛451

4.2开区间（-1， 1）452

4.3 S（x）取正值454

5积分定理460

5.1 0＜ω＜1460

5.2 1≤ω＜2474

5.3 p≤ω＜p+1481

习题十一487

第十二章收敛椭圆488

1展开定理488

1.1海涅公式488

1.2牛曼展开定理493

1.3椭圆环形域495

2收敛域499

2.1收敛参数499

2.2简单性质500

2.3与幂级数的联系502

3奇点507

3.1极点507

3.2奇点的位置513

4解析点520

4.1两个例子520

4.2法都定理522

5自然边界528

5.1简单的例子528

5.2空隙定理531

5.3卢辛例子543

6极限性质544

6.1亚倍尔定理544

6.2刀培定理550

7求和557

7.1一般公式557

7.2极点559

习题十二564

第十三章整函数566

1阶与型566

1.1阶566

1.2型567

1.3例子567

1.4多项式568

2系数与滋长570

2.1系数模的n次根570

2.2系数模的比580

3型函数582

3.1零阶整函数582

3.2 p阶整函数589

4极大项598

4.1定义598

4.2 v（α）的性质599

4.3.μ （α）的性质602

4.4阶与型607

4.5无穷阶614

5正则滋长618

5.1下阶与下型618

5.2空隙定理622

5.3完全正则滋长625

习题十三630

第十四章雅谷比多项式632

1超越几何级数表示632

1.1定义632

1.2对称表示633

1.3首项系数634

2母函数635

2.1一个超越几何函数构成的母函数635

2.2白特门母函数636

3导数表示637

3.1-1＜x＜1637

3.2 z为复变数638

3.3一个简单相邻关系639

4定积分640

4.1微分方程640

4.2正交性641

4.3∫1-1（1-x）α（1＋x）β{Pn（α，β） （x） }2dx642

4.4∫1-1（1-x）α（1＋x）βxkPn（α,β）（x）dx644

4.5∫1-1（1-x）α（1＋x）β/（1-x）ωPn（α，β）（x）dx645

5递推公式647

5.1 （1-z）n的雅谷比多项式线性表示647

5.2含有导数的递推公式650

5.3纯粹递推公式652

5.4混合递推公式654

6零点659

6.1单零点659

6.2零点的位置660

6.3最大正零点与1的距离663

7模的估计667

7.1α＞-1/2，β＞-1/2667

7.2α=β=-1/2668

7.3α≥-1/2，-1＜β＜-1/2以及α＞-1/2，β＝-1/2669

7.4-1＜α＜-1/2，β≥-1/2以及α=-1/2，β＞-1/2670

8雅谷比级数670

8.1积分定理671

8.2多项式Pnα,β（x）675

习题十四679

第十五章超球多项式681

1定义及性质681

1.1定义681

1.2递推公式681

1.3多项式的超球线性表示682

2盖根堡多项式685

2.1定义685

2.2与超球多项式的关系687

2.3一些特殊值688

3 Cγn（z）的各种表示689

3.1用z与（z2-1）的不同幂乘积表示689

3.2超球几何函数表示690

3.3积分表示692

3.4导数表示694

4 Cγn （z）的性质694

4.1母函数694

4.2递推公式696

4.3正交性697

4.4 Cγn（cosθ）的表达式698

4.5微分方程699

4.6积分定理699

5广义勒襄特多项式701

5.1定义701

5.2性质703

习题十五709

第十六章应用711

1调和函数711

1.1拉伯拉斯偏微分方程711

1.2球体调和函数713

1.3球面调和函数719

2定解问题721

2.1狄立赫利问题721

2.2对z轴对称727

3其它应用731

3.1定积分的近似值731

3.2无理性733

习题十六735

全书参考书目736

全书参考论文736