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引论1

0.1 序次公理及结合公理1

0.2 数集，自然数公理5

0.3 连续公理9

0.4 绝对值14

0.5 对应公理15

第一章 论点集16

1.1 定义16

1.2 点集之基本运算17

1.3 有穷及无穷点集，可数性20

1.4 节之定理27

1.5 点集与全空间之比较29

1.6 点集之类别31

1.7 复盖定理33

1.8 极限点及凝聚点定理37

1.9 交集及结合集之极限点41

1.10 相对概念45

1.11 到处稠密及无处稠密点集47

1.12 交集合的定理52

第二章 极限之概念56

2.1 函数之普遍概念56

2.2 上限及下限57

2.3 收敛数列69

2.4 正数之和77

1) 开点集叙列，皆为于S到处稠密而其交集则不具有这性质78

2.5 收敛级数80

2.6 收敛点集88

2.7 点集叙列之上限及下限90

第三章 函数97

3.1 定义97

3.2 点函数之极限函数98

3.3 半连续点及连续点102

2) 发散级数106

3) 绝对收敛级数107

4) 非约对收敛级数108

3.4 半连续函数及连续函数109

5) 二重叙列之和的不可更易性111

3.5 振幅、点断及全断函数113

3.6 单变数函数116

3.7 单调函数119

6) 点集叙列之极限120

7) 无处半连续函数128

9) 小处有界而非有界函数130

8) 连续而非有限函数130

3.8 连续函数之构造135

3.9 收敛函数叙列137

3.10 均匀收敛139

3.11 有界变分函数146

10) 单调函数具有到处稠密之断点156

4.1 点之距离156

第四章 距离及联结156

4.2 点集之距离160

4.3 直径163

4.4 均匀连续165

11) 二个变数函数，虽每一个变数为连续而它并不为连续166

4.5 连续映象167

12) 非均匀有界函数叙列之极限为有界函数168

13) 连续函数叙列之极限函数为不连续169

4.6 连续统169

4.7 点集之边缘175

14) 半连续函数所成叙列，甚至单调叙列其极限函数为全断176

4.8 域180

15) 连续函数在子节内不为有界变分184

4.9 于连续函数之应用184

5.1 外容量187

第五章 容量及可测性187

5.2 测度函数193

5.3 可测性200

5.4 正则测度函数210

5.5 测度理论之应用于点集容量224

16) 在一节内定义一不连续函数，其值在0与1之间227

5.6 可积点集，空间胞纲236

17) 测度函数之举例236

5.7 Vitali复盖定理244

6.1 q-维空间之矢量251

18) 非Borel点集(脚注)251

第六章 线性体系251

6.2 线性矢量体系252

6.3 直交性质256

6.4 行列式260

6.5 行列式之用于线性矢量体系267

6.6 一次方程269

6.7 线性点体系273

6.8 线性点变换274

21) 全空间为其凝聚点之零集276

20) 完全零集276

19) 无处完全集276

22) 不可积之可数点集279

6.9 点集容量之变换279

24) 不可积域280

23) 开集为不可积者280

6.10 直交变换284

6.11 容量不可测之点集286

6.12 连续可测映象290

6.13 测度函数理论之评论295

第七章 可测函数303

7.1 经由点集叙列之函数表示303

7.2 可测函数307

7.3 限值函数316

7.4 等价函数320

7.5 Baire分类323

7.6 类的概念在可测函数之应用329

25) 点集以全空间为其等量包，而同时内容量等于零者334

26) 不可测一一连续映象336

27) 非正则测度函数339

8.1 柱性集合340

第八章 定积分340

8.2 纵线集合343

8.3 非负函数之定积分345

28) 对于α之每一值M(f=α)为可测，此函数不可测346

8.4 可测性及可和性347

29) 可测函数ψ(u)及单调函数之存在而ψ(f(χ))为不可测者351

8.5 任意符号之可和函数351

30) 函数叙列定义域非为等量核者则均匀收敛354

32) 一点集A上为一类函数，而于A之闭包上？所补成者为二类函数363

33) 函数至少为二类364

8.6 积分之估计及近似367

34) 一可测函数，不与任何一类函数等价370

31) 连续函数并非零类372

8.7 Darboux和375

8.8 Riemann积分379

9.1 不定积分388

第九章 不定积分及加性全连续集合函数388

9.2 加性全连续集合函数393

35) 可测而不可和函数395

9.3 中导数397

9.4 广义导数407

9.5 导数之限函数414

9.6 加性全连续节函数416

37) 极限函数，依Riemann为可积而本身则否418

36) 半连续函数，不依Riemann为可积418

38) 依Riemann可积函数，而不是有限类者422

第十章 单变数函数423

10.1 λ-变分423

10.2 函数之导数426

10.3 微分学这定则429

10.4 连续函数之导数，视为自变数之函数436

10.5 简单(一次)积分及全连续函数448

39) 具有无限λ-变分的函数459

10.6 简单积分之置换理论460

10.7 单调函数466

10.8 可测映象480

10.9 有界变分函数484

10.10 Weierstrass无处可微分函数488

10.11 微分学之逆转问题492

40) 全连续函数于预定之零集上可微分且具有导数+∞，492

41) 全连续函数于预定之到处稠密点集上可微且有导数+∞，493

42) f(u)，u=ψ(χ)为二全连续函数，而f［ψ(χ)］不为全连续494

10.12 简单(一次)积分之计算497

10.13 广义积分502

10.14 积分学之第二中值定理507

43) 常数λ-变分的连续函数单调而非常数之函数509

10.15 连续函数定义域之扩展511

44) 单调函数与其反函数是常数λ-变分512

第十一章 多变数函数515

11.1 Fubini定理515

45) 连续函数之导数可和性而为无限变分518

46) 无处可微函数519

11.2 累次积分及重积分521

47) 有界可测函数，不为连续函数之导数523

48) 连续函数具有无限之导数而不是无限变分526

11.3 偏引数，可微分性532

11.4 微分次序之更易性539

11.5 两变数全连续函数541

11.6 积分符下之微分549

49) 一个非可和函数之重积分552

11.7 微分方程553

50) 具有有界偏引数而不可全微分之可偏微分函数561

51) 非全连续而是具有有界偏差商之函数568

附录Ⅰ 关于Vitali复盖定理574

附录Ⅱ 关于内外容量之算术中数578

52) Lipschitzschen条件之举例583

参考文献584

索引591