《实变函数论》

第一章 一般集理论1

1 集与集的运算1

1.集的概念1

2.集的运算3

3.集列的极限集7

4.函数与集9

5.集的特征函数11

2 映射与势15

1.映射15

2.对等集与势17

3.可列集与最小无限势？021

4.不可列集与连续点集的势？24

3 补充：商集与序29

1.等价关系与商集29

2.序关系与曹恩引理32

第二章 直线上的点集35

1 实数的构造35

1.实数的构造35

2.实数的四则运算36

3.实数的大小顺序，绝对值39

4.实数系的完备性41

5.实数直线44

2 直线上的点集46

1.点与点集的关系46

2.开集与闭集48

3.直线上开集的构造51

4.完全集53

5.稠密和疏朗55

第三章 测度59

1 引言59

1.问题的提出59

2.可测集与测度概念的引入61

3.新课题与新途径64

2 集类与直线上的波雷尔集67

1.具有特定性质的最大集类与最小集类67

2.环与代数68

3.σ环与σ代数69

4.？(？)71

5.单调类73

6.波雷尔集75

3 环上的测度77

1.定义及基本性质77

2.？0上的测度m82

3.上一小节内容的两点引伸86

4 测度的延拓89

1.外测度及其性质89

2.μ可测集92

3.完全测度97

5 直线上的勒贝格测度98

1.等价定义98

2.勒贝格可测集类？的构造103

3.勒贝格测度的平移不变性与不可测集104

4.唯一性定理107

5.σ有限测度108

6.勒贝格测度的推广111

第四章 可测函数117

1 可测函数定义及基本性质117

1.问题的提出117

2.可测空间118

3.可测函数的定义118

4.可测函数的性质120

5.简单可测函数124

6.可测函数的充要条件126

7.一个例子127

2 可测函数序列的收敛性129

1.概述129

2.测度空间与几乎处处129

3.一个引理131

4.叶果洛夫定理132

5.依测度收敛133

6.两种收敛性的关系134

7.反例136

8.依测度收敛可测函数列的性质138

3 勒贝格可测函数的构造143

1.从一般到特殊143

2.从波雷尔可测函数的关系143

3.连续性概念的推广145

4.鲁津定理148

5.鲁津定理的等价形式150

第五章 勒贝格积分156

1 黎曼积分理论的回顾156

1.区间的分划156

2.黎曼和，大和与小和157

3.黎曼积分定义与可积函数的有界性160

4.黎曼可积性的等价定义161

5.黎曼不可积函数166

2 狭义的勒贝格积分167

1.勒贝格上积分与下积分167

2.狭义的勒贝格积分的定义169

3.狭义勒贝格可积函数的充要条件172

3 一般的勒贝格积分177

1.区间上一般勒贝格积分的定义177

2.直线上的勒贝格积分定义180

3.勒贝格可测集上的勒贝格积分定义183

4.勒贝格积分的性质187

5.勒贝格可积函数与连续函数191

4 积分与极限可交换的条件194

1.勒维引理与法都引理194

2.勒贝格控制收敛定理197

3.控制收敛定理的应用198

5 不定积分与全连续函数204

1.不定积分的全连续性204

2.不定积分的导函数205

3.牛顿-莱布尼兹公式208

6 黎曼可积函数空间的完备化213

1.距离空间及其完备化213

2.空间L(E)的完备性214

3.L〔a,b〕是R〔a,b〕的完备化空间215

4.勒贝格可积函数的另一等价定义218

7 重积分与富比尼定理220

1.平面勒贝格可测集测度的积分表示220

2.重积分与累次积分定义224

3.富比尼定理226

第六章 积分的一般理论234

1 一般积分的定义与性质234

1.一般积分的定义234

2.几个引理238

3.一般积分的性质241

2 积分的极限定理247

1.几个基本的积分极限定理247

2.积分极限定理的应用251

3 可积函数空间255

1.巴拿赫空间255

2.可积函数空间的范数及完备性256

3.积分的等价定义258

4.重积分与富比尼定理的一般形式260

1.乘积测度空间260

2.乘积空间中可测集测度的积分表示263

3.一向重积分与累次积分定义267

4.富比尼定理的一般形式268

附录 勒贝格定理的证明271