《高观点下的初等数学 第2卷 几何》求取 ⇩

目 录1

前言1

第四部分最简单的几何流形4

第十章作为相对量的线段、面积与体积4

通过行列式来定义；符号的解释4

最简单的应用、特别是交比8

直线多边形的面积9

曲线所围图形的面积13

安姆斯拉极性求积仪原理14

多面体体积，棱边定律20

单侧多面体24

第十一章平面上的格拉斯曼行列式原理27

线段（矢量）28

在刚体静力学中的应用29

直角坐标变换下几何量的分类32

分类原理对初等几何量的应用34

第十二章格拉斯曼空间原理37

线段与平面片39

在刚体静力学中的应用40

与莫比鸟斯零系统的关系42

零系统的几何解释44

与螺旋体理论的关系48

第十三章直角坐标变换下空间基本图形的分类50

关于空间直角坐标变换的一般情况50

某些基本几何量的变换公式54

等价流形：力偶及自由平面量55

自由线段及自由平面量（“极性”及“轴性”矢量）58

第一类及第二类标量61

有理矢量代数的概要62

在矢量运算中缺乏统一的术语65

第十四章导出的流形69

由点（曲线、曲面、点集）导出的图形69

解析几何与综合几何的区别70

射影几何及对偶性原理72

普吕克解析方法及对偶性（直线坐标）原理的扩张75

格拉斯曼的扩张理论；n－维几何量及矢量场；有理矢量分析78

第五部分几何变换86

变换及其解析表示86

第十五章仿射变换87

解析定义及基本性质87

在椭（球）面上理论的应用91

从平面到另一平面的平行投影97

空间轴测作图（系数行列式为零的仿射变换）99

波尔克基本定理104

第十六章投影变换108

解析定义；齐次坐标的引入108

几何定义：每一个直射都是投影变换110

基本流形在投影变换下的情形115

空间到平面的中心投影（系数行列式为零的投影变换）118

立体透视119

投影变换在推导圆锥曲线性质中的应用121

第十七章高阶点变换124

§17.1反演变换124

波塞和利的作直线方法126

球面的球极平面投影128

§17.2某些较一般的映射投影129

麦卡多投影130

蒂索定理131

§17.3最一般的可逆单值连续点变换133

曲面的亏格和连通性135

欧拉的多面体定理137

第十八章空间元素改变而造成的变换138

§18.1对偶变换138

§18.2相切变换141

§18.3某些例子144

代数阶和类曲线的形式145

相切变换在齿轮理论中的应用146

第十九章虚数理论149

虚圆点与虚球面圆151

虚变换152

斯多特运用实极线系统对自共轭虚流形的解释153

斯多特对单个虚元素的完整解释157

虚点和虚线的空间关系162

第六部分几何及其基础的系统讨论165

第二十章系统的讨论165

§20.1几何结构概述165

作为几何分类原理的群论168

凯莱的基本原理：射影几何就是全部几何170

§20.2关于线性代换的不变量理论172

不变量理论的系统讨论176

某些简单例子178

§20.3不变量理论在几何学上的应用183

在带有固定原点的Rn内仿射几何中n个变量的不变量理论的解释183

Rn-1中投影几何的解释185

统化188

§20.4凯莱原理和仿射几何及度量几何的系188

仿射几何的基本概念拟合于投影系统189

格拉斯曼行列式原理拟合于几何不变量理论概念、关190

于张量190

度量几何的基本概念拟合于投影系统198

三角几何的投影解释201

第二十一章几何学基础203

问题的一般说明对解析几何的态度203

由度量几何所引起的纯投影几何的发展204

§21.1侧重运动的平面几何体系206

由平移所引起的仿射几何的发展207

附加旋转所得的度量几何213

距离与角的表示式的最后推导218

曲面面积和曲线长度一般概念的分类221

基本概念：距离，角，全等222

§21.2度量几何的另一种发展体系——平行公理222

的作用222

平行公理与平行理论（非欧几何）224

从哲学观点看非欧几何的意义226

非欧几何拟合于投影系统229

现代几何的公理理论236

§21.3欧几里德的《几何原本》239

《几何原本》的历史地位与科学价值240

《几何原本》十三章的内容244

基本原理248

第一本的开卷部分249

欧几里德几何缺乏介于性公理诡辩的可能性256

欧几里德几何中阿基米德公理；这个公理所排除的几259

何量系统的例子：喇叭角259