《初等几何教程 下 立体几何》求取 ⇩

译者序………………………………………………………………i第七版序……………………………………………………………ii第五编　平面与直线第一章　直线和平面的交点325．平面．直线和平面的相关位置1

目录1

326～329．决定平面的方式2

330．两平面的交点4

331～331a．两直线的相关位置5

332～332a．三平面的交点5

习题423～4277

第二章　平行的直线和平面8

333～334．平行直线8

335．直线和平面的平行9

336～338．平行平面10

或相补．空间任意两直13

线间的角13

339～340．夹边相平行的两角相等13

341～342．三平行平面截任意一些14

直线成比例线段14

343．平行的直线和平面性质16

总结16

习题428～43816

第三章　垂直的直线和平面17

344～347．定义．距两已知点等远17

的点的轨迹．直线与平17

面垂直的充要条件17

347a～349．通过已知点与一直线垂19

直的平面．通过已知点19

与一平面垂直的直线19

到平面的距离．应用于21

平行平面21

350～351．平面的垂线和斜线．点21

352．和两已知直线成等角的22

直线的轨迹22

习题439～45423

第四章　二面角．垂直平面24

353～354．定义．二面角的平面角24

355．二面角的转向25

356～358．二面角的比较26

359．垂直平面28

360～361．若两平面垂直，则在一平28

面上引它们交线的垂线，28

必垂直于另一平面28

362．通过已知直线引垂直于29

已知平面的平面29

角．面相平行的二面角30

363～366．互补二面角．对棱二面30

367．垂直的直线和平面性质31

总结31

习题455～46232

第五章　直线在平面上的射影．直33

线和平面的交角．两直线33

间的最短距离．平面面积33

的射影33

368～368a．射影．平行线的射影33

369～369a．直角射影定理和三垂线34

定理34

370～371．直线和平面的交角．最35

大倾斜线35

373．两直线间的最短距离37

372．二面角一面上一点到另37

一面和到棱的距离之比37

374．平面面积的射影38

习题463～47339

第六章　球面几何初步概念41

375～376．球和一直线或平面的交41

点．大圆41

376a．一圆的极43

377～377a．两大圆的交角45

378．求一实球的半径46

第七章　多面角．球面多边形48

379～379a．定义．对称三面角48

380．多面角中任一面角小于51

其他各面角之和51

的关系52

381～381a．球面多边形．和多面角52

382～382a．包围与被围的多面角和54

球面多边形．用三已知54

面角能作三面角的条件54

383～384．补三面角．球面极三角57

形57

385～385b．相等定律60

386～388．等腰的三面角和球面三63

角形．和平面三角形理63

论的异同63

389～390．垂直和斜交大圆弧65

391．球面坐标68

习题474～49869

第五编习题499～51973

第一章　一般概念76

392．定义76

第六编　多面体76

393．棱柱77

394．棱柱侧面积79

395．平行六面体79

396～397．直平行六面体．长方体80

398～400a．棱锥．棱锥被平行平面81

所截的截面．正棱锥侧81

面积81

401．凡多面体都可分解成棱83

锥83

习题520～53884

402～403．多面体体积定义85

第二章　棱柱的体积85

404～406．长方体体积86

407．凡斜棱柱都等积于以直89

截面为底以侧棱为高的89

直棱柱89

408～409．直平行六面体和直棱柱90

体积90

410～411．任意平行六面体和棱柱92

体积92

习题539～54294

第三章　棱锥的体积94

412．底面等积高又相同的两94

棱锥等积94

积的三分之一96

413．棱锥体积等于底和高乘96

414．棱台体积97

415．截棱柱体积100

习题543～555101

第六编习题556～576102

第七编　运动．对称．相似105

第一章　运动105

416～418．两图形全等的条件．旋105

转、轴反射（半周旋转）105

419．平移107

420．螺旋运动108

合：若有一公共点，通过109

下，通过一个螺旋运动109

一个旋转；在一般情况109

关于不同直线的两个轴109

个全等图形恒可使相重109

反射．运动的合成，两109

421～424．任一螺旋运动可分解成109

习题577～599112

第二章　对称114

425～426．同一图形关于任两点或114

平面的两个对称图形是114

全等的114

427～427a．任一平面图形和它的对116

称形全等．系116

429．两个对称的多面体是等117

积的117

反117

428．两个对称图形的转向相117

430．一图形的对称轴，对称心118

和对称平面118

习题600～608118

第三章　位似与相似119

431～432．定义．基本定理119

433～434．逆命题．三图形的位似120

轴．四图形的位似平面120

435～436．相似形，相似多面体122

437．两相似多面体体积之比124

习题609～616124

第七编习题617～628125

况127

439．曲面的切线．柱面的情127

438．柱面．锥面．回转曲面127

第一章　一般定义．柱127

第八编　圆体127

440～441．柱面的截线．柱128

442～443．锥面．锥129

444．回转曲面130

445～446．圆底柱．侧面积131

447．柱体积133

习题629～639134

第二章　锥．锥台135

448～449．回转锥．侧面积135

450．锥体积137

451．回转锥台的侧面积137

452．锥台体积139

习题640～657139

453～454．球看作回转面141

第三章　球的性质141

455～456．球的决定143

457～458a．外切锥和柱．通过一条144

球外直线的切平面144

459～460．球的交点147

461～462．对于球的幂．正交球149

463～464．等幂（根）面，轴，心150

465～470．位似球．公切面152

习题658～702155

第四章　球的面积和体积157

471．线段绕和它在同一平面157

内但不与它相交的轴旋157

转产生的面积157

472～475．球带面积．球面积159

过它的轴旋转产生的体161

积161

476．三角形绕位于它平面上161

通过它的一顶点但不穿161

477～478．球扇形体积．球体积164

479～480．球环的体积．球台的体166

积166

习题712～728169

第八编习题729～745170

第九编　常用曲线173

第一章　椭圆173

481～482a．定义．描迹．对称轴和173

心173

483．坐标176

解释177

484～485．椭圆关于它的轴的方程．177

485a．椭圆是圆的正射影．逆181

定理181

486．准线182

487．内部和外部区域183

488．准圆184

489～489a．直线和椭圆的交点185

490～490a．椭圆的切线187

491．焦点在切线上射影的轨189

迹189

492～493．作椭圆切线使平行于一190

已知线．两焦点到一条190

切线的距离之积190

切线191

494．通过椭圆平面上一点的191

495～496．庞斯雷（Poncelet）定理．193

外切于椭圆的直角193

习题746～771195

第二章　双曲线198

497～497a．定义．轴和中心198

498．双曲线关于它的轴的方200

程．准线200

499．内部和外部点202

500～501．准圆203

502．和一直线的交点205

503～504．渐近线206

505．双曲线包含在渐近线所207

成四角的两角之内207

506．双曲线的切线208

506a～509．切线性质209

510～511a．双曲线关于它的渐近线213

的方程．切线的相应性213

质213

习题772～792218

第三章　抛物线220

512～513．定义．轴220

513a．曲线关于轴和顶点切线222

的方程222

514～515．和一直线的交点223

516～521．切线性质226

522．抛物线看作椭圆或双曲229

线的极限229

曲线方程232

523～523a．直径232

524～527．次切线．次法线．回到232

习题793～816235

第四章　螺旋线238

528～531．柱的展开图形238

532～533．螺旋线定义242

534～537．螺旋线的切线243

538～539．圆螺旋线．螺旋线的转向247

540～541．螺旋线在平行于柱轴的249

平面上的射影249

习题817～822252

第九编习题823～851253

第一章　一般概念．平面测量259

542～545．定义．平面的水平性259

第十编　测量概念259

546～547．平面测量定义261

548～549．测线的决定262

550．长度的直接丈量264

551～552．角度的直接测量265

553．三角形测量267

554～555．长度和角度的间接测量267

556．三角测量269

557～564．交会法．射线法．导线法．270

直角仪的使用270

第二章　水准测量274

565～569．水准仪．简单水准测量．274

复合水准测量274

570～572．间接水准测量277

拔279

573．基准水平面的选择．海279

574～575．高程表示法．水准曲线．280

侧面图280

576～577．各种简化法282

第三章　面积测量283

578～582．面积测量283

583～583a．体积测量285

习题852～858a286

立体几何补充材料288

第一章　比例距离中心288

584～590a．比例距离中心288

591～598．重心坐标．重心292

599．截棱柱的体积298

已知系数后有已知的和299

已知点距离的平方乘以299

600～602．求点的轨迹，它们到一些299

603～604．平面上四点间距离的关302

系302

605．四面体体积表为棱的函306

数306

606．空间五点间距离的关系307

习题859～877308

第二章　透视的性质312

607～609．透视鸟瞰312

610～610a．平行线的平行射影．平314

行线的透视形．没影点314

611．平面图形的透视形．没316

影线316

612．射影性质．无穷远线316

613～619．交比317

620．应用于完全四线形的对321

顶线321

621～623．平面射影对应图形．已322

知平面图形的射影对应322

图形，由该平面图形中四322

点的对应点决定322

624．平行射影的情况324

625～626．存在着成射影对应的图325

形使四已知点（不共线）325

有已知的对应点325

627．两个射影对应图形一般327

可使其成透视327

束329

629～636．成射影对应的点列和线329

形是射影对应的329

628．同一图形的两个配极图329

637～639．射影对应的各种表示式334

640～641．二重点．二重射线336

642．应用338

643～645．对合340

646～648．对合的二重点342

649～650．对合之例343

651．在两个射影对应的点列344

中，两对对应点和两个二344

重点形成对合344

652～654．应用于完全四线形345

655．圆上的射影对应和对合．346

由一点发出的弦的性质346

习题878～922349

第三章　对于球的极与极面．空间356

反演．球面几何补充材料356

656～658．对于球的极与极面356

659．配极直线357

660．配极图形358

661～664．反演：基本性质359

665～667．平面或球面的反形．应362

用于四面体362

668～670．圆的反形．斜锥的逆平364

行截口364

671～672．球极射影366

673．截两已知球成等角的球367

675～676．相切的球368

674．通过同球上两圆的锥368

677～678．应用反演于球面几何371

679．在反演下交比不变372

680～682．球上的反演．应用于切圆373

习题923～988374

第四章　球面多边形的面积382

683～684．单位选择．月形面积382

685．两个对称球面三角形等384

积384

686．球面三角形和多边形的385

面积385

687～688．勒克舍勒（Lexell）定理385

习题989～1000387

689～690．前言和限制388

第五章　欧拉定理．正多面体388

691～692．有相同联络阶的面积389

693．单连通面积390

694～695．凡凸多面体都是零格的．390

格不等于零的多面体举390

例390

696．欧拉（Euler）定理392

697．多面面的联络阶393

698．正多面角394

699～700a．正多面体．一般性质396

701．正多面体的旋转和对称400

701a～703a．立方体．正四面体402

703～704．共轭多面体405

705．例：八面体408

706～707．正多面体只能有五种409

708．正多面体作法412

709．有关正多面体的计算413

习题1001～1022416

第六章　回转锥和回转柱的平面截420

线420

710～711．回转锥的平面截线．准线420

712．回转柱的情况425

713～714．逆定理．通过一已知圆425

锥曲线的回转锥顶点的425

轨迹425

715．中心在焦轴上的一些双430

切圆的性质430

锥曲线的切线性质431

716．由焦点和准线给定的圆431

717～721．圆锥曲线关于两条切线432

及其相切弦的性质，巴432

卜斯（Pappus）定理．双432

曲线关于它的渐近线的432

性质432

习题1023～1044435

第七章　椭圆看作圆的射影．以渐437

近线为坐标轴的双曲线437

722～724．圆的正交射影437

725．应用于作图问题439

726～728a．直径．共轭直径440

729．阿波罗尼（Apollonius）441

定理441

的方程442

730～730a．椭圆关于两条共轭直径442

731～734．与长度一定且两端在两444

定直线上滑动的线段相444

联系之点的轨迹．椭圆444

的法线．已知两共轭直444

径，求作两轴444

735．双曲线割线的性质450

736～740．双曲线的直径451

习题1045～1092453

第八章　圆锥曲线的面积459

741．椭圆面积459

742～743a．双曲线扇形的面积459

744．抛物线弓形的面积464

习题1093～1107466

745～748．斜圆锥的平面截线．圆468

锥曲线的新定义468

第九章　圆底斜锥的截线．圆锥曲468

线的射影性质468

749～751．圆锥曲线由五点或五切473

线决定473

752～753．夏尔（Chasles）定理474

754．应用于直线和圆锥曲线476

的交点476

755．视四已知点成已知交比477

的点的轨迹477

756～757．对偶定理．巴斯加（Pas-477

cal）和布利安双（Brian-477

chon）定理477

线479

758～761．关于圆锥曲线的极与极479

况481

762～765．配极圆锥曲线．圆的情481

766～767．焦点的判别性质486

768～769．代沙格（Desargues）定487

理487

770～772．圆锥曲线的交点．代沙491

格定理的应用491

773～774a．二重极点，公共割线和公494

共点的讨论494

775～775a．特殊情况．相切的、双切498

的、密切的圆锥曲线498

776．两圆锥曲线投射成两圆502

777．对偶定理．脐点502

曲线系503

778～778a．相对的公共割线．圆锥503

习题1108～1163a504

附录520

F．关于几何问题的可解性520

G．关于体积的定义526

H．关于任意曲线的长度，任529

意曲面的面积和体积的529

概念529

I．关于正多面体和旋转群541

J．关于凸多面体的柯西558

（Cauchy）定理558

K．空间的圆的自反性质566

杂题1206～1322618

补充材料习题1164～1205