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目录1

前言1

第一章　数的发展1

§1 从有理数到无理数1

§2 关于π3

§3 从正数到负数7

§4 从实数到虚数9

§5　从复数到超复数13

§6　从有穷数到超穷数15

§7　从实数到超实数18

§8 从数到非数19

　§9 综述20

第二章　数学的推理方法22

§1 归纳推理22

§2 费尔玛猜想26

§3 数学归纳法27

§4 数学是成熟最早的自然科学30

§5 数学归纳法的再分析31

§6 归纳与演绎的关系34

§1 公理化方法简介38

第三章　公理化方法38

§2 欧氏几何公理体系的来龙去脉41

§3 对“第五公设”的思索最久、最多45

§4 非欧几何诞生49

§5 公理化方法的严格要求52

§6 关于公理系统的相容性、独立性、完备性54

第四章　数学的抽象性问题56

§1 抽象性并非数学所独有56

§2 数学抽象的特殊性57

§3 数学抽象是一个历史过程59

§4 数学抽象的基本方法69

§5 数学抽象的意义76

§6 数学抽象与实践79

第五章 数学中的猜想——兼论创造思维问题82

§1 数学猜想的来源82

§2 数学猜想的前途88

§3 数学猜想的作用89

§4 关于归纳、类比、直观的再分析92

§5 两种不同的猜想105

§6 试论创造思维的若干问题108

§1 变形法120

第六章　化归法120

§2 典型化方法129

§3 逐步逼近法134

§4 MRI方法141

第七章　模型方法151

§1 从哥尼斯堡七桥问题谈起151

§2 模型方法概述154

§3 数学模型的分类156

§4 数学模型的构造162

§5 数学自身的模型方法165

第八章　无限与悖论168

§1 数学是“无限的科学”168

§2 无限与数学危机170

§3 无限与悖论174

§4 潜无限与实无限177

§5 怎样认识无限179

§6 关于有限数学187

第九章　ZFC系统的建立189

§1 集合论悖论与语义学悖论189

§2 悖论的性质193

§3 ZFC系统的建立196

§4 关于数学基础的三大流派202

§5 数学是什么210

第十章　数学与美学213

§1 引人注目的历史现象213

§2 数学家论数学美215

§3 美的数学218

§4 数学的美223

§5 数学美的意义239

第十一章　数学与数学家242

§1 数学家与社会242

§2 数学家的身世244

§3 数学家的品德248

§4 数学家的艰辛251

§5 三位女数学家255

§6 数学家的闪失261

第十二章　关于数学符号265

§1 从零的符号说起265

§2 符号的分类267

§3 符号的发展、变化269

§4 数学符号的积极意义272

参考书目276