《数学方法论选论》

第一章数学方法论概述1

1.1 数学方法论的研究对象1

一、方法、方法论及数学方法论1

二、数学方法论的研究对象2

1.2 数学方法论的形成与发展4

一、数学萌芽时期与数学方法的产生4

二、常量数学时期与数学方法论的萌芽5

三、变量数学时期与数学方法论的形成5

四、近、现代数学时期与数学方法论学科的建立及发展6

1.3 数学方法论的特点、意义及研究方法9

一、数学方法论的基本特点9

二、研究和学习数学方法论的意义11

三、数学方法论的基本研究方法13

第二章数学观16

2.1 数学的本质16

一、数学的基本特点16

二、数学的客观基础21

三、数学的研究对象24

四、数学理论的真理性27

2.2 数学悖论、危机与数学无限观31

一、数学悖论31

二、数学危机37

三、悖论的实质与无限观41

一、逻辑主义学派44

2.3 数学基础诸流派及哲学观44

二、直觉主义学派46

三、形式主义学派48

四、数学基础论的现代哲学思潮49

第三章数学的发展52

3.1 数学发展的几个直接动因52

一、数学问题52

二、数学观念61

三、数学符号65

四、数学美学标准68

3.2 对数学发展中若干现象的辩证认识71

一、对立理论的并存现象71

二、多重、独立地发现同一结论现象74

三、历史与逻辑的非一致现象76

四、数学的分化与整合77

五、极大的普适性与自我封闭性79

六、是发现呢还是发明80

七、计算机给数学带来的哲学思考81

3.3 关于数学发展规律与模式的研究82

一、亚历山大洛夫的数学发展观83

二、怀尔德提出的数学发展23条规律83

三、拉卡托斯的数学理论发展模式86

四、柯朗与罗宾斯的数学发展观87

五、斯蒂恩的数学球体结构发展理论88

六、几点启示89

一、化归的特征90

第四章数学化归原则90

4.1 化归原则概说90

二、化归的要素、模式和方向92

三、化归的实质93

4.2 化归的基本形式93

一、特殊与一般的转化93

二、整体与局部的转化97

三、具体与抽象的转化101

四、数与形的转化102

五、化高为低108

六、化正为反109

七、化已知为未知109

八、化无限为有限110

一、映射方法112

第五章关系映射反演方法112

5.1 RMI 方法概述112

二、数学对象与关系结构113

三、映射与反演114

5.2 RMI 方法在数学中的应用115

一、反映若干具体数学方法的共性与本质特征115

二、作为探求证明数学命题的一种重要思路和方法118

三、解决不可能性问题122

四、解决理论的整体性结构问题126

五、RMI 原理与数学创造127

5.3 使用 RMI 方法的条件129

6.1 数学公理化方法的意义130

第六章数学公理化方法130

6.2 数学公理化方法的产生与发展133

一、公理化方法的萌芽——亚里士多德三段论体系133

二、实质公理化方法的产生——欧几里得几何公理体系134

三、潜形式公理化阶段——非欧几何公理体系135

四、形式公理化阶段——希尔伯特公理体系136

五、纯形式公理化阶段——元数学的建立137

6.3 公理化方法的特点与基本问题138

一、公理化方法的特点138

二、公理化方法的基本问题139

三、对公理系统的检验140

一、一个简单的实例148

6.4 公理化方法的应用举例148

二、几何公理方法的重要实例——希尔伯特公理体系149

三、现代形式公理系统的基本结构及具体实例151

四、关于中学数学中的几何公理体系及处理方法152

6.5 对公理化方法的辩证认识154

一、如何认识对同一对象的不同形式的公理描述154

二、公理化方法是思维的“自由产物”呢还是建立在一定的客观基础之上的东西155

三、公理化方法是万能的呢还是带有某种局限的方法155

四、关于实质性的公理法与形式化的公理法156

第七章数学模型方法157

7.1 数学模型的意义、类型及作用157

一、数学模型157

二、数学模型的分类158

三、数学模型的作用159

7.2 建立数学模型的步骤与途径164

7.3 数学模型方法应用举例166

7.4 数学模型方法与数学教育173

一、数学建模竞赛173

二、MM方法与数学教学改革179

第八章数学构造方法183

8.1 构造法概述183

一、构造法的特征183

二、构造法的近、现代发展184

三、构造性数学与非构造性数学的辩证关系186

一、对中西古代数学的影响188

8.2 构造方法在数学发展中的作用188

二、对经典数学的构造性解释190

三、对开拓数学新领域的作用192

8.3 构造法在数学解题中的运用192

第九章数学中的逻辑思维方法201

9.1 分类与类比201

一、分类法201

二、类比法206

9.2 归纳与演绎215

一、归纳法215

二、演绎法219

三、归纳与演绎的哲学论争221

一、分析与综合的含义223

9.3 分析与综合223

二、分析法224

三、综合法229

四、分析与综合的统一231

五、还原论与系统现231

9.4 证明与反驳233

一、证明法233

二、反驳法238

三、证明与反驳的数学探索价值241

第十章数学中的非逻辑思维方法243

10.1 想象与联想243

一、想象243

二、联想248

10.2 直觉与灵感256

一、直觉257

二、灵感266

第十一章数学美学方法274

11.1 数学美274

一、数学美的本质274

二、数学发展中的数学美学思想掠影277

三、数学美的表现形式285

11.2 数学美学方法的运用291

一、数学美学方法的特点291

二、数学美学方法运用的基本途径292

二、审美教育的功能300

11.3 数学美育300

一、审美教育的特征300

三、数学审美教育的途径301

四、数学美育的层次302

第十二章数学家的数学活动方法303

12.1 笛卡儿——科学方法与数学理论的统一303

一、笛卡儿的科学方法论303

二、解析几何的方法论价值305

三、笛卡儿模式及数学解题308

12.2 欧拉——他的数学多产得力于他的数学思想方法311

一、“他是一个顶呱呱的方法发明家，又是一个熟练的巨匠”311

二、合情推理的高手315

三、抽象分析法与映射法323

12.3 庞加莱—通过内省来研究数学创造的心理活动324

一、数学构造性观点及对数学归纳法的认识325

二、没有假设，科学家将寸步难行326

三、对数学创造发明活动的心理分析327

12.4 希尔伯特——以数学问题为杠杆推动数学前进331

一、不循常规，独辟蹊径——果尔丹问题331

二、类比、猜想、推广——代数数域理论333

三、旧瓶装新酒——《几何基础》334

四、妙手回春之术——挽救狄氏原理335

五、数学问题——数学前进的杠杆336

13.1 现代数学学派概说339

一、哥廷根学派339

第十三章数学学派339

二、波兰学派342

三、布尔巴基学派346

四、前苏联学派351

13.2 对数学学派若干问题的认识355

一、由几种现代观点看数学学派355

二、数学学派形成及发展的基本形式360

三、数学学派研究方法特色分析364

第十四章数学方法的现代发展368

14.1 集合观念的嬗变与数学方法的拓展368

一、传统集合观念面临的挑战369

二、集合观念的重大突破370

三、集合多元化及对数学方法的拓展372

14.2 20世纪数学思想方法的发展足迹374

一、高度的抽象化建立起现代数学基础的新支柱374

二、对标准与常规方法的叛逆冲破了传统的理论禁区376

三、任何领域都阻挡不住数量化的进程379

四、计算机带来数学思想方法的新突破382

14.3 数学方法的现代发展趋势383

一、抽象化方法呈现新特点383

二、综合性方法日显威力385

三、反常规方法将独领风骚386

四、渗透性方法使数学四处结缘387

五、计算机方法大有用武之地387

主要参考文献389