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第1讲数学方法论引论1

1 研究数学方法论的意义和目的1

2 宏观的方法论与微观的方法论2

3 略论希尔伯特成功的社会因素3

4 浅淡微观的数学方法论7

第2讲略论数学模型方法15

1 数学模型的意义15

2 数学模型的类别及简单例子16

3 MM的构造过程及特点20

4 怎样培训构造MM的能力22

第3讲关系映射反演原则的应用24

1 何谓“关系映射反演原则”？24

2 数学中的RMI原则27

3 若干较简单的例子29

4 几个较难一点的例子35

5 用RMI原则分析“不可能性命题”40

6 关于RMI原则的补充说明45

第4讲略论数学公理化方法48

1 公理化方法的意义和作用48

2 公理化方法发展简史49

3 公理化方法的基本内容53

4 重要例子——几何学公理化方法54

5 关于公理系统的相容性问题58

6 略谈自然科学中的公理化方法62

第5讲关于数学的结构主义65

1 结构主义学派的形成过程65

2 布巴基学派的一般观点66

3 数学结构的分类66

4 数直线结构分析68

5 略谈拓扑结构69

6 略谈同构概念71

7 略评结构主义73

1 代数基本定理与根式解法研究简史75

第6讲代数方程根式解法与伽罗瓦的群论思想方法75

2 拉格朗日的思想方法与阿贝尔定理79

3 伽罗瓦的思想方法86

4 方程式可解性理论简介92

第7讲关于非标准数域与非康托型自然数模型的构造方法97

1 略论“无限”概念蕴含的矛盾97

2 非标准数域的构造方法101

3 非康托型自然数序列模型的构造法110

4 关于一个引伸的芝诺悖论的解释114

5 略论无限的两种形态115

第8讲悖论与数学基础问题119

1 悖论的定义和起源119

2 悖论举例和数学三次危机123

3 策莫洛对悖论的解决方案131

4 罗素对悖论的解决方案139

5 塔斯基及其语义学146

6 哥德尔的不完备性定理与悖论147

7 悖论的成因与研究悖论的重要意义150

第9讲论数学基础诸流派及其无穷观152

1 数学系统的相对相容性证明与诸流派形成的历史近因152

2 逻辑主义派的观点和方法154

3 直觉主义派的观点和方法159

4 略论形式公理学派的观点和主张171

5 关于三大流派的简短评论175

第10讲略论数学发明创造的心智过程177

1 何谓数学上的发明或创造？177

2 庞卡莱关于数学创造的论点178

3 略谈数学创造的一般心智过程180

附录数学抽象度概念与抽象度分析法183

1 引言183

2 抽象与严格偏序184

3 抽象度的一般概念187

4 略论抽象法则与抽象难度191

5 抽象度分析法概述193

主要参考文献196