《数学史数学方法论选讲》求取 ⇩

目录1

绪论1

一、有关科学史和科学方法论的几点认识1

二、科学分类：6

于光远的分类；钱学森的分类、思维科学8

三、科学与美学、逻辑与直觉8

四、科学史分期11

（一）科学学和科学中心的转移11

（二）科学史分期的原则12

（三）科学史的三个时期12

（四）近代科学的三个时期13

（五）现代科学的一些特点14

五、数学史分期15

（一）萌芽时期15

（二）初等数学时期15

（三）变量数学时期及特点15

（四）近代数学时期及特点15

（五）现代数学时期的特点及标志15

第一篇 古代数学思想和初等数学18

第一章 远古在数学上有贡献的几个民族18

（一）埃及18

（二）巴比伦19

（三）印度21

一、悠久的历史文化22

第二章 中国古代数学22

二、先秦时期的哲学和数学23

（一）易经，八卦和排列组合23

（二）老庄哲学和辩证法、极限思想24

（三）《墨经》中的数学和逻辑25

（四）中国古代的“元气说”与笛卡尔的“以太旋涡论”26

（五）西方科学界的东方哲学热27

三、算经十书28

（一）算经十书的形成28

（二）《周髀算经》28

（三）《九章算术》29

（四）刘徽对中国古算学理论的贡献30

（五）《孙子算经》和“物不知其数”——中国的剩余定理33

（六）其它算经34

四、古代数学家34

（一）祖冲之、祖暅34

（二）沈括及其《梦溪笔谈》35

（三）秦九韶和“大衍求一术”36

（四）杨辉三角、莱布尼兹三角、递归模型、数学归纳法37

（五）明、清前其他各家：一行（张遂）、郭守敬、朱世杰、理学家42

五、西方数学的输入43

启蒙大师徐光启、梅氏家族、承前启后的李善兰、沟通中西文化的先驱者利马窦六、十四世纪我国数学中断之原因46

（2）“割圆术”与“徽率”48

（1）“周三径一”之说48

（一）中国古代关于圆周率的计算和研究48

附录：圆周率之今昔48

（3）约率、密率、祖率49

（二）古代外国的圆周率50

阿基米德的割圆术、鲁道夫数51

（三）π的级数展开，分析法的应用51

（四）π、c、i的奥秘52

（五）π值的计算竞赛53

几何法、分析法和计算机的使用53

（六）“蒲丰氏问题”与π的计算53

（七）π的性质54

一、光辉的希腊文化57

第三章 古希腊哲学和几何学57

π的无理性、超越性和统计规律性57

二、泰利斯和爱奥尼亚学派58

三、毕达戈拉斯学派和“万物皆数”58

四、毕达戈拉斯及其教育、哲学思想评介60

（一）概况61

（二）“数的系统”——毕达哥拉斯哲学基本观点，数是什么、数和范畴、数和宇宙、数和音乐61

（三）实践、道德哲学65

（四）对于数及数的哲学的一些评论65

五、“宇宙的和谐”——数、天体运动和音乐67

六、德谟克里特的原子论68

七、爱利亚学派和芝诺疑难69

（一）普罗他哥拉斯、高尔吉亚的怀疑论70

八、诡辩学派和尺规作图三大不能问题70

（二）尺规作图三大不能问题71

（三）割圆曲线73

（四）穷竭法75

九、伯拉图学派的哲学和数学75

十、亚里士多德77

（1）概况77

（2）关于点、线、连续性和无限78

（3）亚里士多德的自然哲学著作78

（4）关于时间、空间和运动79

（5）“四因说”和“整体性悖论”81

（6）逻辑学83

（二）《几何原本》的形成85

十一、欧几里得和《几何原本》85

（一）欧几里得其人85

（三）《几何原本》内容、方法简介86

（四）《原本》的意义和局限性89

（五）第五公设和非欧几何89

十二、阿波罗尼斯及其《圆锥曲线论》89

（一）亚历山大时期三大家之一89

（二）《圆锥曲线论》内容简介90

（1）圆锥曲线之直径90

（2）极线、极点调和性质90

（3）焦点性质90

（6）座标的萌芽91

十三、阿基米德——“数学的神”91

（4）极大线、极小线、法线、渐屈线91

（5）阿波罗尼斯（切触）问题91

（一）“我可以移动这个地球”92

（二）“砂粒计算器”92

（三）“圆柱内切球”的墓碑92

（四）阿基米德螺线92

（五）数学中的力学方法——“阿基米德方法”93

（六）兼收并蓄、抽象与具体相结合93

十四、罗马帝国和希腊文化的衰退93

（一）希腊、罗马文化的差异93

（二）排斥异教、“焚书坑儒”93

十五、蜂房数学94

（1）印度——阿拉伯数字96

（2）无理数96

第四章 算术和代数96

（一）数系的演变96

（3）负数97

（4）虚数、复数、闵可夫斯基的四维空间97

（5）哈密顿的四元数和向量：三维复数的寻找。四元数的性质，四元数和场论、四元数和向量100

（6）格拉斯曼的“扩张论”、超复数和张量102

（7）复数域扩张的不可能性和结合代数102

（8）非正统复数及其物理意义、泡利矩阵103

（二）从算术到代数的飞跃，代数符号的使用和改进104

（三）皮卡克关于《型的永恒性原理》105

（四）波恩的《符号和实在》107

（六）裴波那契数、黄金分割和优选法108

（五）丢番图方程108

（七）“黄金分割”与美学109

（八）方程式和笛卡尔法则110

（九）对数和指数110

（十）其它：三角、计算器111

第五章 数论及其猜想的意义112

（1）《几何原本》、费尔马和数论112

（2）费尔马的无限递降法112

（3）费尔马大定理与莫德尔猜想113

（4）费尔马无限减小原理：114

用代数方法、几何方法证明正方形一边与对角线的不可通约性115

（5）华林猜想115

（7）素数的无限性116

（6）哥德巴赫猜想和筛法116

素数无限性的欧几里得证明、欧拉证明、素数分布的特性118

（8）数论中的“华罗庚——王元方法”及评论118

（9）数论和多体稳定性理论119

（10）黎曼猜想120

（11）素数分布和人才学的一个数学模型121

（12）素数的一些猜想122

（13）数学猜想的意义123

第六章 欧洲的中世纪和文艺复兴的科学思想和数学125

（一）中世纪125

（二）文艺复兴126

（三）代数和几何关系127

（2）笛卡尔哲学的原则130

（1）培根—笛卡尔科学（归纳演绎科学）130

（3）笛卡尔的“空间”和“旋涡”130

第二篇 变量数学130

第七章 解析几何（座标几何）130

（一）笛卡尔哲学130

（二）笛卡尔的《几何》131

（1）《方法论》与解析几何的诞生131

（2）座标、曲线和方程、帕卜斯问题131

（3）折射定律和“最小作用原理”132

（4）笛卡尔卵形线132

（三）费尔马的工作133

（四）解析几何的意义和进一步的完备133

（五）牛顿的n阶曲线的直径的理论134

（六）惯性椭圆134

向量分解、付氏级数、流形135

（九）摆线的性质和历史135

（七）直纹二次曲面——直、曲关系135

（八）各种座标系、n维空间135

（1）摆线的直观定义、参数方程136

（2）亚里士多德的诡辩136

（3）托勒密宇宙系136

（4）渐伸线、渐屈线136

（5）各种摆线的关系136

（6）甲虫“数学家”137

（7）摆线的弧长和所围的面积137

（10）狡黠的光线—最速降线问题138

（9）摆线名称的由来138

（8）具无穷多拱的外摆线138

第八章 射影几何、克莱因及其爱尔朗根纲领140

（一）仿射变换140

仿射变换定义和不变性、二阶曲线的9个仿射分类、仿射变换的公式（二）正交变换141

（三）用仿射变换求椭圆面积141

（四）伽里略变换和洛伦兹变换142

（五）射影变换、射影几何143

（六）克莱因的科学和教育活动144

（1）十九世纪中叶的数学144

（2）克莱因的科学研究144

（3）克莱因的数学教育思想144

（2）基本观点145

（七）爱尔朗根纲领145

（1）几何理论的“伟大的综合”145

（八）自守函数理论的形成146

（1）椭圆积分146

（2）椭圆函数147

（3）自守函数148

（九）克莱因学术思想评介148

（1）前辈的影响148

（2）综合的能手149

（3）对科学的“人文主义观点”149

（4）从抽象中得到具体149

（5）局限性——对公理法的否定149

（6）实证主义的色彩150

（一）古代哲学中相关的数学思想151

（1）毕氏学派的“万物皆数”和数学单子论151

（2）伯拉图的“理性主义”151

（3）芝诺疑难151

（4）穷竭法与割圆术151

第九章 微积分、无限小的思想渊源151

（5）亚里士多德的“直觉主义”152

（6）兼收并蓄的阿基米德153

（2）不可分量和连续统154

（3）两种无限154

（1）思辨的经院哲学154

（二）中世纪的欧洲154

（4）关于“形态幅度”的论述155

（5）连续性原则、思辨精神对无限概念的意义156

第十章 一百年的孕育157

微积分产生的社会背景（简述）157

（一）解析几何方法的应用158

（二）切线和变化率问题158

（三）极值问题159

（四）求积问题160

（五）二项式定理和级数161

（六）不可分量、无穷小、连续、极限162

（七）微分三角形164

（九）微积分基本问题及其互逆关系，求切线与求积问题的互逆关系165

（八）运动的“倾向”，量的“生成”165

第十一章 牛顿、莱布尼兹，微积分的诞生167

（一）牛顿167

（1）牛顿的“流数术”168

（2）最初比、最后比和极限169

（3）对牛顿科学思想的几点看法170

（二）莱布尼兹的无限小微积分170

（1）莱布尼兹的各阶差、微分171

（2）微分三角形、连续性原理172

（3）莱布尼兹科学思想的分析173

（1）“披着宗教外衣”反对宗教，“数学设计”的信念174

（三）莱布尼兹哲学及其对科学的意义174

（2）单子论——德国古典哲学辩证法的先驱175

（3）单子论和无穷小的阶、微分三角形、连续性原理、全息律思想175

（四）牛顿、莱布尼兹的比较177

（1）共同点177

（2）牛顿的“物理”方向、莱布尼兹的“哲学”方向177

（五）优先权的争论177

（六）关于微积分基础的争论178

（1）争论的必然性178

（2）贝克莱对微积分的攻击178

第十二章 无穷小、极限、级数、微积分概念的进一步演变181

（一）罗必达的“无穷小分析”181

（三）拉格朗日和欧拉的“纯代数的微分学”182

（二）达朗贝尔的极限论——“理性的微分学”182

（四）继往开来的哥西184

（五）波尔察诺、外尔斯特拉斯的“ε—δ”方法185

（六）函数的连续性、可微性、可积性、微积分基本定理186

（七）实数理论的建立188

（八）级数和微积分189

（1）级数扼要的历史189

（2）渐近级数及其应用191

（3）发散级数求和192

（一）“模糊中偶见光明”195

（二）集合的特征函数、函数的图195

第十三章 模糊数学评介195

第三篇 现代数学思潮评介、数学基础195

（三）模糊集、程度函数、分解定理196

（四）观念和方法的重大变革198

（五）模糊集的贴近度、距离、模糊度（熵）198

（六）模糊数199

（七）模糊点200

（八）模糊函数和扩张原理201

（九）乘积模糊集、模糊关系、模糊图、模糊矩阵201

（十）模糊聚类分析、模糊模型识别203

（十一）模糊集的推广：L—模糊集、高阶模糊集204

（十二）概率性、模糊性、可能性及其在认识论上的意义205

（1）可能性理论的提出，三者的关系205

（3）可能性分布206

（2）模糊约束206

（4）可能性的意义及其与概率的区别207

（十三）应用举例：“他出之石，可以攻玉”208

（十四）发展、问题和展望208

（十五）简要的哲学分析209

第十四章 非标准分析及其在认识论上的意义211

（一）非标准分析的提出211

（二）数学结构和形式语言212

（1）数学结构、标准实数域R212

（2）形式语言、分析的标准模型R212

（3）分析的非标准模型＊R、无穷小数213

（2）紧致性定理213

（1）紧致性和哥德尔完全性定理213

（三）紧致性定理、分析的非标准模型＊R213

（四）＊R的单子结构214

（五）＊R中数的种类、单子显微镜214

（六）关于极限？＝1215

（七）＊R上的函数的概念215

（八）微分、连续、积分215

（九）微分三角形、（sinθ）′＝cosθ证明216

（十）δ—函数与无穷小分析217

（十一）在数学物理中的若干应用218

（1）源极和偶极子218

（2）量子力学和自共轭算子的特征值218

（1）康妥的实数理论219

（2）非标准实数域＊R的高桥模型219

（3）其他方面219

（十二）非标准实数域的一个实现219

（十三）非标准数学的方法论意义220

微积分和辩证法——非标准分析与《数学手稿》的关系及其在认识论上的意义221

1．无穷小的演变221

（1）无穷小和微积分的创建221

（2）“ε—δ”方法和无穷小222

（3）标准分析应该怎样更数学化222

2．马克思《数学手稿》与标准分析、非标准分析的关系223

（1）无穷小增量和微分224

（2）微、积运算的互逆性224

3．数学的量子化——＊R的单子结构224

（3）对立面转化的环境225

（4）局部性质的精确表现226

4．非标准数学在认识论、方法论上的启发226

（1）科学和哲学226

（2）理论层次和物质世界的层次性227

（3）点的可分性228

（4）时、空观念229

（5）无穷小、单子结构的意义230

（6）非标准数学的综合作用231

第十五章 突变理论233

（一）系统稳定性与“拉普拉斯决定论”233

（二）C∞（Rn）的芽空间234

（三）分类定理235

（四）应用236

（五）分析与评论237

第十六章 泛系分析与科学方法论239

（一）综合性、横断性学科——方法论的数学化239

（二）泛系、泛对称239

（三）形影关系、会诊原理、观控水平240

（四）泛系重演律、树结构240

（五）泛箱原理、泛系观控律240

（六）宏、微兼顾，对应原理241

（七）潜会诊与未来学241

（八）等价对应原理与异同观241

（一）悖论的起源、意义和现状243

第十七章 悖论及其科学意义243

（二）常见的悖论244

（1）康妥最大基数悖论244

（2）最大序数悖论244

（3）罗素悖论244

（4）理发师悖论244

（5）理查德悖论244

（6）格雷林悖论245

（7）说谎者悖论245

（8）语义悖论与集合论的关系245

（9）其他245

（a）梵学者的预言245

（e）蠕虫爬橡皮绳246

（d）奇妙的方阵246

（b）“意料之外的考试”246

（c）阿洛（选举）悖论246

（f）哪辆车上异性多247

（g）广义的芝诺悖论247

（三）悖论的性质、成因、分类248

（1）认识论方面的因素248

（2）方法论方面的因素249

（a）康妥概括原则的分析249

（3）分类250

（四）解决悖论的方案250

（1）罗素的“分支类型论”250

（c）悖论与方程的解250

（b）语义学方面的因素250

（2）塔尔斯基的语言层次251

（3）公理集合论、ZFC系统252

（a）划分公理与概括原则252

（b）ZFC公理系统253

（c）ZFC系统与实数理论254

（4）其他254

（五）数学、物理的发展与悖论，悖论的意义254

（1）悖论与数学“危机”255

（a）希帕索斯的不可通约量、芝诺疑难——数学的第一次“危机”255

（b）贝克莱悖论、微积分基础的争论——数学的第二次“危机”255

（c）罗素悖论——数学的第三次“危机”255

（2）悖论与哥德尔不完全性定理255

（3）科学革命与悖论、热情和追求256

（4）光速悖论与物理学革命257

（a）光速悖论与光速不变原理258

（b）狭义相对性原理258

（5）“引力佯谬”、“光度佯谬”和宇宙论、哈勃宇宙、宇宙膨胀与宇宙无限性258

（6）“整体性悖论”与现代系统论259

（六）“逻辑悖论”与“悖论逻辑”260

第十八章 数学基础、数学哲学261

（一）几个学派261

（1）逻辑主义学派261

（2）直觉主义学派261

（4）现代的伯拉图主义与形式主义262

（5）数学中经验主义的复兴262

（3）形式主义学派262

（二）无限论263

（1）实无限、潜无限263

（2）不断延伸原理、相对穷竭原理263

（3）潜尾理论263

（4）双相无限263

（5）选择公理与决定性公理264

（6）连续统假设264

（三）数学的本质264

（1）数学研究的对象264

（2）数学理论的真理性问题265

（3）数学中的实验方法265

数学是科学还是艺术？267

数学是发明还是发现269