《工程技术中的偏微分方程》

第1章方程的导出和定解问题1

1.1方程的导出1

1.2定解条件和定解问题9

1.3反应—扩散方程13

1.4 二阶线性方程的分类与叠加原理18

习题一29

第2章行波法31

2.1一维波动方程的初值问题31

无界弦的自由振动31

半无界弦的自由振动33

无界弦的强迫振动35

2.2二维与三维波动方程39

球对称情况40

一般情况41

空间非齐次波动方程44

降维法及二维波动方程45

2.3解的物理意义47

D'Alembert公式的物理意义47

依赖区域、决定区域和影响区域48

习题二54

第3章分离变量法和特殊函数57

3.1齐次边界条件的定解问题57

齐次方程齐次边界条件57

非齐次方程齐次边界条件69

3.2非齐次边界条件的定解问题72

边界条件齐次化72

周期性条件和自然边界条件77

3.3柱域中的分离变量法和Bessel函数80

Bessel方程的引出80

Bessel函数及其性质83

3.4球域中的分离变量法及Legendre多项式97

Legendre方程的引出97

Legendre多项式99

3.5本征值理论110

Sturm —Liouville边值问题110

本征函数的正交性113

展开定理117

奇异的本征值问题119

习题三121

第4章积分变换法128

4.1Fourier变换及其性质128

Fourier变换的形式导出及它的定义128

Fourier变换的基本性质131

多维Fourier变换的简单介绍134

4.2Fourier变换在求解偏微分方程初值问题中的应用134

一维热传导方程的初值问题134

一维波动方程的初值问题136

应用Fourier变换求解边值问题138

4.3Laplace变换及其性质139

Laplace变换的形式推导139

存在定理与反演公式140

Laplace变换的基本性质140

Laplace逆变换与展开定理144

4.4Laplace变换在求解偏微分方程定解问题中的应用148

热传导方程的混合问题148

弦振动方程的混合问题150

习题四151

第5章Green函数法155

5.1δ函数及它的基本运算155

δ函数与广义函数155

广义函数及它的基本运算162

广义函数（δ函数）的Fourier变换164

5.2调和方程的第一边值问题的G reen函数法165

Green公式、基本解与基本积分公式165

Green函数及其性质168

特殊区域的G reen函数170

5.3热传导方程的Green函数法176

混合问题176

初值问题181

习题五184

第6章数值解法188

6.1差分解法188

抛物型方程混合问题的差分方法188

双曲型方程的差分格式193

Poisson方程第一边值问题的差分格式195

6.2变分原理198

泛函和泛函的极值199

与偏微分方程边值问题等价的变分问题203

6.3解Laplace方程边值问题的有限元法207

Galerkin方法208

Sobolev空间与弱解210

边值问题有限元法概述211

习题六222

第7章一阶偏微分方程组225

7.1例子及有关概念225

7.2特征理论230

7.3狭义双曲型方程组的Cauchy问题236

7.4特征线法244

习题七253

第8章非线性方程255

8.1追赶问题和广义解255

8.2交通流模型和Burgers方程265

8.3KdV方程和孤立子（Soliton）269

KdV方程的由来269

KdV方程的孤立波解271

孤立波的相互作用和孤立子275

8.4不变变换和相似解280

平移变换和标度变换280

Lie点变换群283

相似约化和相似解291

习题八295

附录AFourier变换表298

附录B Laplace变换表299

附录C 柱函数、球函数的公式和数表300

参考文献305