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原序1

第一部分 理论基础1

第一章 矩阵及其运算1

1.矩阵.主要的符号记法1

2.长方矩阵的加法与乘法3

3.方阵12

4.缔结矩阵.逆矩阵的子式19

第二章 高斯演段及其一些应用23

1.高斯消去法23

2.高斯演段的力学解释28

3.行列式的薛尔凡斯透恒等式30

4.方阵对三角形因子的分解式32

5.矩阵的分块.分块矩阵的运算方法.广义高斯演段40

第三章 n维向量空间中线性运算子49

1.向量空间49

2.映像n维空间于m维空间中的线性运算子53

3.线性运算子的加法与乘法56

4.坐标的变换57

5.相抵矩阵.运算子的秩.薛尔凡斯透不等式59

6.映像n维空间于其自己中的线性运算子65

7.线性运算子的特征数与特征向量68

8.单构线性运算子70

第四章 矩阵的特征多项式与最小多项式74

1.矩阵多项式的加法与乘法74

2.矩阵多项式的右除与左除75

3.广义裴所定理78

4.矩阵的特征多项式.附加矩阵80

5.同时计算附加矩阵与特征多项式的系数的德.克.法捷也夫方法84

6.矩阵的最小多项式87

第五章 矩阵函数93

1.矩阵函数的定义93

2.拉格兰日-薛尔凡斯透内插多项式98

3.f(A)的定义的其他形式.矩阵A的分量101

4.矩阵函数的级数表示107

5.矩阵函数对于常系数线性微分方程组的积分的应用114

6.在线性系统情形运动的稳定性121

第六章 多项式矩阵的相抵变换.初级因子的解析理论127

1.多项式矩阵的初级变换127

2.λ-矩阵的标准形式132

3.多项式矩阵的不变因式与初级因子137

4.线性二项式的相抵性143

5.矩阵相似的判定145

6.矩阵的法式147

7.矩阵f(A)的初级因子151

8.变换矩阵的一般的构成方法157

9.变换矩阵的第二种构成方法163

第七章 n维空间中线性运算子的结构(初级因子的几何理论)173

1.空间的向量(关于已予线性运算子)的最小多项式173

2.分解为有互质最小多项式的不变子空间的分解式175

3.等余式.商空间179

4.一个空间对于循环不变子空间的分解式182

5.矩阵的法式188

6.不变因式.初级因子191

7.矩阵的若唐法式199

8.长期方程的阿.恩.克力洛夫院士变换方法202

第八章 矩阵方程215

1.方程AX=XB215

2.特殊情形：A=B.可易矩阵220

3.方程AX-XB=C225

4.纯量方程f(X)=O226

5.矩阵多项式方程227

6.求出满秩矩阵的m次方根231

7.求出降秩矩阵的m次方根234

8.矩阵的对数240

第九章 U-空间中线性运算子242

1.绪言242

2.空间的度量242

3.向量线性相关性的格兰姆判定246

4.正射影248

5.格兰姆行列式的几何意义与一些不等式250

6.正交向量序列256

7.法正交基底261

8.关联运算子264

9.U-空间中规范运算子266

10.规范运算子，安密达运算子，U-运算子的影谱269

11.非负与恒正安密达运算子273

12.U-空间中线性运算子的极分解式.凯莱公式275

13.欧几里得空间中线性运算子279

14.欧几里得空间中运算子的极分解式与凯莱公式285

15.可易规范运算子289

第十章 二次型与安密达型293

1.二次型中变数的变换293

2.化二次型为平方和.惯性定律295

3.化二次型为平方和的拉格兰日与耶可比方法297

4.正二次型303

5.化二次型到主轴上去307

6.二次型束308

7.正则型束的特征数的极端性质315

8.有n个自由度的微振动系统324

9.安密达型329

10.甘凯运夫型336

文献347

第二部分 特殊问题与应用357

第十一章 复对称，反对称与正交矩阵357

1.关于复正交矩阵与U-矩阵的一些公式357

2.复矩阵的极分解式362

3.复对称矩阵的法式364

4.复反对称矩阵的法式368

5.复正交矩阵的法式374

第十二章 异矩阵束380

1.绪言380

2.正则矩阵束381

3.异矩阵束.演化定理385

4.异矩阵束的标准式391

5.矩阵束的最小指标.矩阵束的严格相抵性判定394

6.异二次型束与异安密达型束398

7.对于微分方程的应用403

第十三章 非负元素所构成的矩阵408

1.一般的性质408

2.不可分离非负矩阵的影谱性质411

3.可分离矩阵424

4.可分离矩阵的法式433

5.原矩阵与非原矩阵438

6.斯笃哈斯基矩阵441

7.关于有限多事件纯马尔可夫链的极限概率446

8.完全非负矩阵457

9.颤动矩阵462

第十四章 矩阵论对于线性微分方程组的应用471

1.有变量系数的线性微分方程组.一般的概念471

2.略普诺夫变换474

3.可化组476

4.可化组的标准式.也罗琴定理479

5.矩阵子483

6.乘积积分.伏尔泰勒的无穷小计算488

7.复区域上微分方程组.一般的性质492

8.复区域上乘积积分495

9.孤立异点499

10.正则异点506

11.可化解析组523

12.多个矩阵的解析函数及其在微分方程组的研究中的应用.伊.阿.拉扑-达尼连扶斯基的工作527

第十五章 路斯-霍维茨问题及其相邻近的问题531

1.绪言531

2.柯许指标533

3.路斯演段536

4.特殊情形.例子541

5.略普诺夫定理545

6.路斯-霍维茨定理549

7.奥朗陀公式555

8.路斯-霍维茨定理中特殊情形557

9.二次型法.多项式的不同实根个数的定出560

10.有限秩的无限甘凯连夫矩阵563

11.经其分子与分母的系数来定出任一有理分式的指标567

12.路斯-霍维茨定理的第二个证明575

13.路斯-霍维茨定理的一些补充.连那尔与希派尔的稳定性判定580

14.霍维茨多项式的一些性质.斯蒂力且斯定理.用连分式表出霍维茨多项式586

15.稳定性区域.马尔可夫参数593

16.与力矩问题的关系597

17.马尔可夫与切比雪夫定理601

18.广义的路斯-霍维茨问题611