《矩阵论入门》

第1章预备知识1

1.1 线性代数1

1.2 一元多项式的互素与整除12

第2章矩阵的分解式18

2.1 几种常见的矩阵分解式18

2.2 两个广义QR-分解20

2.3 Schur引理、Hermite矩阵与正规矩阵23

2.4 正规矩阵与实对称矩阵的谱分解27

2.5 最小二乘法与矩阵的奇异值分解31

2.6 Moore-Penrose广义逆37

2.7 Hermite半正定矩阵与Cholesky分解41

第3章线性变换与Jordan标准形理论46

3.1 线性空间：回顾与展望46

3.2 线性变换：与矩阵的联系47

3.3内积空间与酉（正交）变换56

3.3.1 内积空间56

3.3.2 酉变换与正交变换58

3.4 线性空间的σ-子空间直和分解式与分块对角矩阵60

3.5 根子空间分解定理63

3.6 Jordan标准形67

3.7张量积、商空间与外幂75

3.7.1 两个线性空间（线性映射、矩阵）的张量积75

3.7.2 线性空间关于某个子空间的商空间80

3.7.3 外幂∧mFV82

第4章矩阵分析85

4.1 矩阵的多项式／矩阵函数初探87

4.2范数92

4.2.1 向量范数92

4.2.2 矩阵范数94

4.3矩阵函数（续）103

4.3.1 利用Jordan标准形求复变量函数的矩阵函数103

4.3.2 单个矩阵的强收敛、收敛与幂有界性104

4.3.3 A的特征多项式的导函数是A的特征矩阵tE-A的伴随矩阵的迹105

4.4特征值的估计（几个典型圆盘定理）107

4.4.1 Gerschgorin圆盘107

4.4.2 Ostrowski圆盘110

4.4.3 Brauer定理112

4.4.4 弱不可约矩阵Brualdi定理113

4.5正方阵与非负方阵114

4.5.1 非负方阵的谱半径与正向量115

4.5.2 正方阵与Perron定理118

4.5.3 非负方阵的谱半径（续）121

4.5.4 不可约非负方阵与Perron-Frobenius定理124

4.6 随机矩阵的基本性质130

第5章应用关键词134

5.1 在数学以及其他学科分支中的应用134

5.2 矩阵的奇异值分解135

5.3 非负矩阵的分解135

5.4 矩阵的广义逆136

参考文献137

部分习题提示与解答138

索引151