《矩阵论基础》

第一章 线性空间上的线性算子1

1 线性空间1

1.1 线性空间的定义及基本性质1

1.2 线性子空间17

习题1-126

2 线性算子及其矩阵28

2.1 线性空间上的线性算子28

2.2 同构算子与线性空间同构32

2.3 线性算子的矩阵表示35

2.4 线性变换39

2.5 线性变换的不变子空间47

习题1-249

第二章 内积空间上的线性变换53

1 内积空间53

1.1 内积与欧氏空间54

1.2 酉空间介绍67

习题2-169

2 等积变换及其矩阵71

2.1 正交换与正交矩阵72

2.2 两类常用的正交变换及其矩阵82

2.3 酉变换与酉矩阵介绍94

习题2-296

3 其它几种线性变换及其矩阵98

3.1 对称变换与厄尔密特变换98

3.2 正规变换与正规矩阵100

3.3 正交投影变换与正交投影矩阵101

习题2-3107

第三章 矩阵标准形109

1 化矩阵为相似对角矩阵109

1.1 特征值和特征向量的概念110

1.2 代数重复度与几何重复度116

1.3 利用特征值化为对角矩阵120

1.4 矩阵对角化的应用122

习题3-1126

2 约当（Jordan）标准形127

2.1 λ-矩阵的概念127

2.2 λ-矩阵的标准形129

2.3 不变因子与初等因子132

2.4 利用初等因子化为约当标准形152

2.5 约当标准形的应用152

习题3-2154

3 正规矩阵的酉对角化156

习题3-3159

第四章 矩阵分解161

1 矩阵的三角分解161

1.1 消元过程的矩阵描述161

1.2 矩阵的三角分解165

1.3 常用的三角分解公式172

习题4-1180

2 矩阵的QR（正交三角）分解181

2.1 QR分解的概念181

2.2 QR分解的实际求法185

习题4-2193

3 矩阵的最大秩分解194

习题4-3200

4 奇异值分解与谱分解201

4.1 矩阵的奇异值分解202

4.2 单纯矩阵的谱分解206

习题4-4209

第五章 线性赋范空间与矩阵范数210

1 线性赋范空间210

1.1 向量的范数210

1.2 向量范数的性质216

习题5-1219

2 矩阵的范数220

2.1 矩阵范数的定义与性质220

2.2 算子范数222

2.3 谱范数的性质和谱半径228

习题5-2232

3 矩阵的条件数233

3.1 病态方程组与病态矩阵233

3.2 矩阵的条件数234

习题5-3238

第六章 矩阵分析240

1 向量序列和矩阵序列的极限240

1.1 向量序列的极限240

1.2 矩阵序列的极限243

习题6-1247

2 矩阵级数与矩阵函数247

2.1 矩阵级数247

2.2 矩阵函数257

习题6-2271

3 矩阵的微积分法272

3.1 函数矩阵对实变量的导数272

3.2 矩阵特殊的导数272

3.3 矩阵的全微分283

3.4 函数矩阵的积分286

习题6-3287

第七章 广义逆矩阵及其应用289

1 矩阵的几种广义逆289

1.1 广义逆矩阵的基本概念289

1.2 减号逆A？290

1.3 自反广义逆Ar？294

1.4 最小范数广义逆Am？299

1.5 最小二乘广义逆Al？300

1.6 加号逆A+301

习题7-1312

2 广义逆在解线性方程组中的应用313

2.1 线性方程组的求解问题的提法313

2.2 相容方程组的通解与A？315

2.3 相容方程组的极小范数解与Am？318

2.4 不相容方程组的最小二乘解与Al？321

2.5 加号逆A+的应用324

习题7-2327

第八章 克罗内克（Kronecker）积及其应用1 Kronecker积328

1.1 Kronecker积的概念328

1.2 Kronecker积的性质329

习题8-1336

2 Kronecker积应用举例337

2.1 矩阵的拉直337

2.2 线性矩阵方程的解339

习题8-2341

第九章 辛空间与辛变换简介343

1 反对称纯量积与辛空间343

1.1 反对称双线性函数343

1.2 线性函数的外积344

1.3 辛空间的定义345

2 子空间的反对称正交补346

2.1 反对称正交补346

2.2 几种特殊的子空间351

2.3 辛空间的性质352

2.4 辛基353

3 辛变换与辛矩阵353

3.1 辛变换与辛矩阵354

3.2 辛变换的特征值358

4 辛对合360

习题9366

参考书目367