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第一章矩阵理论的基本知识1

1矩阵与线性变换1

1.1 矩阵与行列式，特征值与特征向量2

1.2 线性变换与矩阵表示，相似性与 Jordan 法式15

2对称矩阵与 Hermite 矩阵，酉空间上的线性变换26

2.1 正规变换与正规矩阵26

2.2 Hermite 正定与正半定矩阵34

2.3 幂等变换与幂等矩阵43

3矩阵的张量积与合成矩阵47

3.1 矩阵的张量积47

3.2 合成矩阵的基本性质52

第一章参考文献56

第二章范数57

1向量范数57

1.1 定义与例子57

1.2 分析与几何性质60

2矩阵范数64

2.1 广义矩阵范数64

2.2 矩阵范数68

3关于向量范数与矩阵范数的进一步结果76

3.1 对偶向量范数77

3.2 绝对向量范数及其导出的矩阵范数80

3.3 广义矩阵范数与矩阵范数的补充84

4度规函数与酉不变广义矩阵范数89

4.1 度规函数与对称度规函数及其对偶90

4.2 von Neumann 定理94

第二章参考文献99

第三章矩阵函数100

1简单矩阵的函数100

1.1 定义100

1.2 简单矩阵函数的谱分解及其应用102

2一般矩阵的函数106

2.1 一般定义与性质106

2.3 矩阵函数的序列与级数118

3矩阵函数 f(A)：f 为解析函数情形125

3.1 矩阵值函数的分析运算与矩阵的预解式125

3.2 矩阵函数的积分形式定义与有关性质129

4对微分方程的应用134

4.1 一阶常系数常微分方程组解的表达式134

4.2 可观测与可控制的定常线性系统140

第三章参考文献148

第四章线性矩阵方程与惯性理论150

1线性矩阵方程150

1.1矩阵方程的可解条件150

1.2 矩阵方程 AX+XB=C155

2矩阵惯性定理160

2.1 ляпунов 稳定性定理与 Stein 稳定性定理160

2.2 矩阵惯性定理164

3Routh-Hurwitz 问题与 Schur-Cohn 问题172

3.1 多项式对的 Bézout 矩阵与结式矩阵172

3.2 Routh-Hurwitz 问题与 Schur-Cohn 问题：复多项式的情形178

3.3 Routh-Hurwitz 问题：实多项式的情形182

第四章参考文献193

第五章矩阵的广义逆195

1基于 Penrose 方程的λ-逆195

1.1 基本概念与{1}-逆195

1.2 其它λ-逆201

1.3 在求解线性矩阵方程问题中的应用208

2方阵的谱广义逆212

2.1 Drazin 逆212

2.2 群逆与广义左(右)逆215

2.3 矩阵的广义逆正性与单调性219

第五章参考文献223

第六章特征值的定位与扰动224

1矩阵非奇异性定理与排除定理224

1.1 严格对角占优矩阵与 Gerschgorin 圆盘定理224

1.2 不可约矩阵的情形229

2对角占优矩阵的推广及其相应的排除定理233

2.1 Brauer 定理与 Ostrowski 定理233

2.2 Shemesh 定理与 Brualdi 定理237

3矩阵特征值的扰动242

3.1 特征值的连续性结果与矩阵的谱变化242

3.2 简单矩阵的特征值扰动246

4矩阵的解析扰动253

4.1 问题与基本结果253

4.2 单重特征值的扰动259

4.3 多重特征值的扰动262

第六章参考文献268

第七章非负矩阵理论270

1非负不可约矩阵的 Perron-Frobenius 理论270

1.1 最基本的结果270

1.2 Perron-Frobenius 理论的进一步结果278

2一般非负矩阵的情形286

2.1 一般非负矩阵 Perron-Frobenius 理论的古典结果286

2.2 Perron-Frobenins 定理的进一步推广289

3随机矩阵与双随机矩阵296

3.1 随机矩阵与有限齐次 Markov 链296

3.2 双随机矩阵301

第七章参考文献307

第八章M-矩阵308

1非奇异 M-矩阵308

1.1 主子式皆为正实数的实方阵309

1.2 非奇异 M-矩阵的若干特性311

1.3 G-函数与非奇异 M-矩阵319

2一般 M-矩阵325

2.1 一般 M-矩阵的特征326

2.2 带有“性质c”的 M-矩阵332

2.3 M-矩阵与有限齐次 Markov 链336

第八章参考文献341

第九章非负矩阵与 M-矩阵的应用343

1求解线性代数方程组的迭代方法343

1.1 三种基本迭代方法与基本收敛引理343

1.2 非负性，正定性与迭代法的收敛性346

1.3 奇异线性方程组的情形358

2数理经济学中的投入-产出模型分析362

2.1 引言与开式 Leontief 模型362

2.2 闭式 Leontief 模型372

第九章参考文献376

符号表378

索引381