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第一部分 概率论1

第一章 概率空间1

1. 随机现象和随机试验1

1·1.概率论和数理统计的研究对象1

必然现象和随机现象1

产生随机性的原因2

随机现象的统计规律性2

概率论和数理统计的研究对象3

1·2.随机试验3

随机试验4

随机试验的例4

1·3.随机事件和随机变量6

2. 事件的关系和运算·基本事件空间7

2·1.事件的关系和运算7

2·2.事件运算的简单性质10

2·3.基本事件空间12

3. 事件的概率13

3·1.古典型概率14

古典型随机试验14

古典型概率的定义15

古典型概率的性质17

3·2.几何型概率18

几何型随机试验18

几何型随机试验的事件18

几何型随机试验中事件的概率19

几何型概率的性质21

3·3.频率和概率22

事件的频率22

频率的稳定性和概率23

频率的性质24

4. 事件σ-代数·可测空间25

4·1.事件σ-代数26

σ-代数的简单性质26

σ-代数的例27

4·2.含给定集系的最小σ-代数·波莱尔σ-代数28

含给定集系的最小σ-代数28

波莱尔σ-代数和波莱尔集29

4·3.集合σ-代数和单调集合类30

5. 概率的公理化定义·概率空间33

5·1.概率的公理化定义·概率空间33

5·2.概率的性质36

5·3.概率测度的开拓41

定义在集合代数上的概率测度41

概率测度的开拓定理42

6. 事件的条件概率42

6·1.直观背景42

古典型42

几何型44

条件频率44

6·2.条件概率的定义和性质45

6·3.和条件概率有关的基本公式46

乘法公式46

全概率公式47

贝叶斯公式49

7. 事件的独立性52

7·1.二事件的独立性52

定义52

独立事件的性质54

7·2.多个事件的独立性55

7·3.事件列的独立性57

8. 计算事件概率的例59

8·1.组合分析的基本公式59

基本法则59

排列60

组合60

基本性质61

8·2.随机取样61

8·3.分配问题63

8·4.例64

习题76

第二章 一维随机变量及其概率分布85

1. 一维随机变量的定义及其分布函数85

1·1.随机变量的数学定义85

1·2.随机变量产生的事件88

1·3.随机变量的分布函数91

1·4.离散型和连续型随机变量97

2. 离散型随机变量98

2·1.离散型随机变量的概率分布和分布函数98

离散型随机变量的概率分布99

离散型随机变量的分布函数99

2·2.退化分布100

2·3.二项分布和负二项分布101

伯努利试验101

多重伯努利试验101

伯努利试验中的概率分布102

伯努利分布102

二项分布102

负二项分布107

几何分布108

2·4.超几何分布109

超几何分布的二项分布逼近110

负超几何分布112

2·5.泊松分布112

泊松分布的最可能数和概率的最大值112

伯努利试验列中的稀有事件114

泊松事件流118

随机质点的空间分布125

3. 连续型随机变量126

概率密度的性质127

连续型随机变量的概率分布128

3·1.均匀分布129

3·2.指数分布130

泊松流中的等待时间130

指数分布的无后效性131

3·3.正态分布132

正态分布的性质和特点133

标准正态分布134

正态分布在理论和实际中的地位138

产生正态分布的一般条件142

3·4.对数正态分布143

3·5.Γ-分布144

指数分布144

厄兰分布145

x2-分布145

3·6.B-分布146

F-分布与B-分布147

二项分布和负二项分布与B-分布148

4. 一维随机变量的概率分布150

4·1.一维随机变量的概率分布150

4·2.分布和分布函数152

分布和分布函数的一一对应关系152

分布函数的性质和分类155

分布函数为给定函数的随机变量的存在性157

4·3.随机变量之概率分布的分析表达式158

离散型158

连续型158

一般情形159

习题159

第三章 随机向量及其函数的分布164

1. 随机向量及其概率的分布164

1·1.随机向量及其分布函数164

随机向量之分布函数的性质168

1·2.离散型和连续性随机向量169

离散型随机向量169

连续型随机向量172

1·3.随机向量的边缘分布函数178

一般情形178

连续型179

离散型181

1·4.随机向量的概率分布182

随机向量的概率分布183

n维分布和n元分布函数183

随机向量之概率分布的分析表达式185

2. 随机变量的独立性186

2·1.一维情形186

离散型随机变量独立的充分必要条件187

连续型随机变量独立的充发必要条件188

一般情形189

2·2.独立随机向量192

3. 随机变量的条件分布193

3·1.随机变量关于巳给事件的条件分布函数193

3·2.一随机变量关于另一随机变量的条件的分布函数194

条件密度195

离散型随机变量的条件分布198

3·3.条件分布的简单性质199

4. 随机向量的函数201

4·1.随机向量的函数202

波莱尔函数202

独立随机向量的函数的独立性203

4·2.随机向量的函数的分布204

一般情形204

随机向量的函数的密度207

4·3.随机变量之和(差)及商(积)的分布216

二随机变量和的分布216

二随机变量差的分布222

二随机变量商的分布222

二随机变量积的分布224

4·4.三个重要分布224

x2-分布225

t-分布228

F-分布230

习题232

第四章 随机变量的数字特征238

1. 随机变量的数学期望239

1·1.离散型随机变量数学期望239

频率平均值239

定义240

离散型随机变量数学期望的性质242

1·2.随机变量的数学期望(一般情形)245

定义245

非负随机变量数学期望的性质247

数学期望的性质(一般情形)249

1·3.勒贝格-司梯阶积分251

1·4.随机变量的函数的数学期望252

一维情形252

多维情形257

车贝晓夫不等式259

独立随机变量函数的数学期望260

2. 随机变量的方差和矩260

2·1.随机变量的方差261

定义261

方差的基本性质262

2·2.随机变量的矩268

矩的计算公式269

原点矩和中心矩的换算270

2·3.关于矩的一些重要不等式274

马尔科夫不等式和车贝晓夫不等式274

柯西-布尼亚科夫斯基不等式274

赫尔德不等式275

明科夫斯基不等式276

詹森不等式277

李亚普诺夫不等式278

3. 随机向量的数字特征278

3·1.二随机变量的协方差和相关系数278

协方差的基本性质280

相关系数的性质280

二随机变量的相关性283

3·2.随机向量的数学期望和方差284

记号284

定义286

数学期望的性质286

方差的性质288

n维正态分布的数学期望和方差289

3·3.二随机向量的协方差291

协方差的性质291

不相关随机向量292

4. 条件数学期望292

4·1.随机变量关于事件的条件数学期望292

全数学期望公式295

E(ξ|B)的基本性质296

4·2.一随机变量关于另一随机变量的条件数学期望297

随机变量η关于{ξ=x}的条件数学期望297

随机变量η关于随机变量ξ的条件数学期望301

条件数学期望E(η|ξ)的性质302

4·3.最优回归函数303

习题305

第五章 特征函数313

1. 随机变量的特征函数的定义和基本性质314

1·1.定义314

1·2.基本性质315

2. 特征函数和分布函数的对应关系322

2·1.特征函数和分布函数323

2·2.特征函数和分布函数对应的唯一性323

2·3.特征函数和分布函数对应的连续性331

分布函数列的弱收敛331

连续性定理337

2·4.极限分布函数连续的情形341

3. 随机向量的特征函数342

3·1.定义342

3·2.基本性质344

3·3.随机向量的特征函数与分布函数的对应关系350

对应的唯一性350

对应的连续性352

随机向量独立的充要条件353

3·4.多维正态分布355

习题360

第六章 独立随机变量列的极限定理364

1. 随机变量列的收敛性364

1·1.以概率1收敛365

1·2.依概率收敛368

1·3.依分布收敛370

1·4.r-阶收敛372

1·5.四种收敛性的关系373

2. 大数定律374

2·1.问题的提法374

2·2.大数定律376

2·3.强大数定律379

波莱尔强大数定律379

柯尔莫戈洛夫准则380

独立同分布随机变量列的强大数定律384

2·4.应用大数定律的例387

3. 中心极限定理392

3·1. 中心极限定理的提法393

独立随机变量之和393

独立随机变量的规范和394

记号395

定义395

3·2.同分布情形396

列维-林德伯格定理397

棣莫佛-拉普拉斯积分定理397

3·3.林德伯格定理401

3·4.李亚普诺夫定理410

习题412

第二部分 数理统计418

第七章 数理统计的基本概念418

1. 样本空间419

1·1.总体和表征总体的随机变量419

统计特征419

表征总体的随机变量420

总体的分布和数字特征421

具体总体和抽象总体421

1·2.简单随机取样和简单随机样本422

1·3.样本空间424

1·4.随机样本的概率分布425

1·5.统计量425

2. 经验分布函数和随机样本的数字特征427

2·1.经验分布函数427

2·2.样本数字特征428

2·3.样本数字特征的概率分布430

样本均值与样本方差的分布和独立性430

t-分布433

样本方差比的概率分布435

3. 顺序统计量436

3·1.顺序统计量及其概率分布436

3·2.样本极差及其概率分布439

3·3.极值分布440

4. 数理统计的基本问题441

4·1.采集样本441

抽样技术441

试验设计442

4·2.统计推断的基本问题443

统计估计问题443

统计假设检验444

习题445

第八章 参数估计理论448

1. 参数估计问题的提法448

1·1.一般提法449

1·2.未知参数的点估计449

1·3.未知参数的区间估计450

2. 参数的点估计451

2·1.选择估计量的原则451

2·2.克拉美-逻不等式·有效估计量453

费歇信息量454

克拉美-逻不等式456

有效估计量和估计量的效率458

2·3.建立估计量的方法459

矩估计法459

矩估计量的性质461

最大似然估计法463

最大似然估计量的求法·似然方程464

最大似然估计量的性质470

2·4.随机向量分布参数的点估计480

3. 参数的区间估计483

3·1.置信区间和置信度484

3·2.建立置信区间的方法484

3·3.正态分布参数的区间估计485

习题489

第九章 统计假设检验493

1. 统计假设和假设检验的基本概念494

1·1.统计假设494

参数假设和非参数假设494

简单假设和复合假设495

基本假设和对立假设495

1·2.统计假设的检验496

2. 统计假设的显著性检验497

2·1.小概率原则·显著性水平497

2·2.统计假设显著性检验的一般过程498

2·3.关于正态分布参数假设的显著性检验499

检验假设μ=μ0499

检验假设μ1=μ2502

检验假设σ=σ0505

检验假设σ1=σ2507

检验假设r=0509

2·4.似然比检验512

似然比检验的基本思想512

似然比检验的一般过程514

3. 管理图519

3·1.问题的提出519

3·2.什么叫管理图520

3·3.建立管理图的原则·3σ-管理图522

3σ-管理图522

未知参数的估计526

4. 最大功效检验530

4·1.统计假设检验的两类错误和功效530

检验准则531

检验的两类错误531

检验的功效函数532

一致最大功效检验532

α-水平一致最大功效检验532

4·2.奈曼-皮尔逊基本引理536

4·3.一致最大功效检验的例541

4·4.一致最大功效无偏检验的概念和例546

无偏检验546

一致最大功效无偏检验546

4·5.正态分布参数检验表548

5. 非参数假设的X2-检验550

5·1.分布拟合检验551

X2-检验551

统计量X？的极限分布·皮尔逊定理552

皮尔逊定量的推广555

5·2.独立性的检验560

二事件独立性的检验560

二随机变量独立性的检验562

5·3.齐一性的检验565

5·4.其它非参数检验568

习题568

第十章 线性统计模型初步575

1. 线性回归575

1·1.一元正态线性回归的数学模型575

问题的提法575

数学模型577

1·2.未知参数的估计578

正规方程·回归系数的点估计578

参数σ2的点估计580

估计量？β0？β1和？2的分布581

未知参数β0β1和σ2的区间估计583

1·3.线性关系的显著性检验584

1·4.利用回归方程进行预测和控制585

预测585

控制588

1·5.一元线性回归模型的推广589

1·6.例589

2. 方差分析594

2·1.一种方式分组的方差分析模型594

单因素试验594

数学模型596

统计推断的基本问题596

方差分析法597

2·2.变动平方和的分解597

变动平方和的分解597

变动平方和的概率分布599

2·3.未知参数的估计600

点估计600

区间估计600

2·4.基本假设的显著性检验601

3. 一般线性模型603

3·1.一般线性模型和例604

样本的线性结构604

线性模型的例605

3·2.未知参数的估计·最小二乘法612

最小二乘估计612

最小二乘估计的性质617

σ2的估计620

正态线性模型的估计问题621

带约束线性模型的估计问题626

3·3.线性假设的检验630

线性假设的一般形式630

线性假设的显著性检验632

例637

习题643

附录648

Ⅰ.常见概率分布表648

1. 离散型概率分布648

2. 连续型概率分布649

3. 多维概率分布654

Ⅱ.习题答案655

Ⅲ.常用数理统计表680

附表1. 标准正态分布函数值表680

附表2. 标准正态分布双侧分位数(ua)表681

附表3. 泊松分布概率值表682

附表4. 泊松分布累计概率值表683

附表5. x2-分布上侧分位数(x?)表684

附表6. t-分布双侧分位数(ta)表686

附表7. F-分布上侧分位数(Fa)表687

附表8. 样本相关系数的临界值(ra)表691

附表9. s／σ的数学期望和标准差、3σ-？管理图系数表692

附表10. 3σ-ξ管理图系数表693

附表11. R／σ的数学期望和标准差、3σ-R管理图系数表693

Ⅳ.书中人名英-俄-汉对照694

Ⅴ.参考书目697