《普通数学 第2卷 实数与实变量函数》

第一章 实数1

第一部分 Q的拓扑研究2

1 收敛到有理数的有理数序列2

2 Q的区间7

3 收敛的有理数重序列8

4 柯西序列9

5 关于柯西序列上的运算和柯西序列的性质12

第二部分 实数域R的结构，R的拓扑14

1 域R14

2 实数区间，收敛序列、柯西序列20

3 R的两个基本性质24

第二章 数直线26

1 关于点集的定义：上界，下界，接触点，聚点26

2 基本定理：波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理，单调序列的定理，波雷尔-勒贝格定理32

3 上确界、下确界36

4 关于极限的定理39

第三章 度量空间Rn43

1 距离的一般概念43

2 R上矢量空间的范数46

3 Rn上的范数48

4 极限，Rn中的球，拓扑性质53

5 复数域C与空间R261

第四章 从R到R内的映射：单实变量的实函数66

第一部分 数值函数通论66

1 定义和初等性质66

2 序列的上极限、下极限71

3 在一点的极限74

第二部分 连续的单实变量的实函数80

1 连续性的定义，连续函数的初等性质80

2 在区间上连续的函数的两个基本定理85

3 一致连续性88

4 连续延拓90

第三部分 单调函数，单调连续函数92

1 单调函数92

2 单调的连续函数，完备直线96

第四部分 阶台函数105

1 ［a,b］上阶台函数的定义和性质105

2 关于［a,b］上阶台函数的运算108

第五部分 一致收敛109

1 数值函数序列一致收敛性的定义111

2 阶台函数序列的一致收敛性，阶梯函数114

3 阶梯函数的巴拿赫空间(一致收敛的范数)120

第六部分 可导函数123

1 定义124

2 一般性质128

3 罗尔定理，有限增量分式，原函数133

4 凸函数141

5 泰勒公式145

第七部分 指数函数149

1 函数x→xn(n为正整数)的研究149

2 ar(r∈Q)的定义和性质150

3 函数r→ar(r∈Q，a>0)154

4 函数x→ax(x∈R，a>0)155

5 函数logcx与xa157

6 指数函数的导数,数e160

第五章 单实变量的矢量函数：从R到Rp内的映射167

1 定义和一般的注167

2 连续的矢量函数. 阶梯函数169

3 可导的矢量函数173

4 泰勒公式176

5 单实变量的复函数176

第六章 多实变量的实函数：从Rn到R内的映射.关于从Rp到Rq内映射的概念179

1 从RP到R内映射的连续性179

2 一致收敛.用阶台函数逼近连续函数184

3 偏导数186

4 可微函数的定义190

5 关于可微函数的运算192

6 微分199

7 泰勒公式205

8 从Rp到Rq内的映射208

符号目录210

法汉名词对照211