《变量与函数》

引言1

预备知识6

0-1 数量概念的辩证发展过程6

0-2 形和数的初步统一、实数与数轴16

Ⅰ.数轴16

Ⅱ.实数的绝对值17

Ⅲ.有理数的稠密性18

Ⅳ.有理数的不连续性18

Ⅴ.实数的连续性20

0-3 根式及其运算22

Ⅰ.根式的意义23

Ⅱ.算术根23

Ⅲ.根式的性质25

Ⅳ.分母有理化30

Ⅴ.根式的加减法32

0-4 数量之间的矛盾性、不等式35

Ⅰ.不等式的表示法35

Ⅱ.不等式的解法35

Ⅲ.不等式的应用45

Ⅳ.绝对值不等式49

Ⅴ.实数区间的意义52

第一章 函数的初步概念55

1-1 变量与常量57

Ⅰ.量与数57

Ⅱ.变化中的量58

Ⅲ.变量与常量59

1-2 变量间的依赖关系--函数62

Ⅰ.函数的意义62

Ⅱ.函数的记号66

Ⅲ.函数的定义域和值域67

1-3 函数关系的来源72

Ⅰ.根据事物的直接数量关系建立函数关系73

Ⅱ.根据几何或物理概念建立函数关系75

Ⅲ.通过观察、实验建立函数关系76

Ⅳ.引进参考变量建立函数关系78

1-4 函数的表示法79

Ⅰ.列表法79

Ⅱ.图象法80

Ⅲ.公式法80

Ⅰ.直线坐标系83

第二章 函数的图形与曲线的方程83

2-1 平面直角坐标系83

Ⅱ.平面直角坐标系84

Ⅲ.形和数的辩证同一性87

2-2 绘制函数图形的初步方法88

2-3 函数的重要特性91

Ⅰ.函数的增减性92

Ⅱ.函数的奇偶性93

Ⅲ.函数的截距94

Ⅳ.变量的变化状态97

Ⅴ.反函数99

2-4 曲线的方程101

Ⅰ.两点间的距离102

Ⅱ.曲线的方程105

Ⅲ.坐标轴的平移109

第三章 指数函数与对数函数115

3-1 指数概念及其运算法则116

Ⅰ.指数的运算法则117

Ⅱ.指数概念的推广118

Ⅰ.对数的意义124

3-2 对数的意义及其性质124

Ⅱ.对数的性质125

Ⅲ.对数的运算法则126

Ⅳ.常用对数132

3-3 指数函数与对数函数139

Ⅰ.指数函数与对数函数的意义139

Ⅱ.指数函数与对数函数的性质和图形140

Ⅲ.自然对数与对数换底公式144

Ⅳ.函数y=ex与y=e-x的性质和图形145

Ⅰ.幂函数的意义152

第四章 幂函数152

4-1 幂函数的意义及其性质152

Ⅱ.幂函数的性质和图形153

4-2 一次函数和直线的方程157

Ⅰ.一次函数的意义158

Ⅱ.一次函数的性质和图形159

Ⅲ.一次函数的应用164

Ⅳ.直线的方程171

4-3 二次函数和一元二次方程178

Ⅰ.二次函数的性质和图形179

Ⅱ.二次函数的最大、最小值183

Ⅲ.二次函数和一元二次方程的关系185

4-4 二次曲线190

Ⅰ.抛物线的方程191

Ⅱ.椭圆和双曲线的标准方程201

Ⅲ.圆锥曲线214

Ⅳ.圆锥曲线的一般方程(一)217

4-5 经验公式简介226

Ⅰ.直线型经验公式227

Ⅱ.可化为直线型的经验公式230

第五章 三角函数与反三角函数245

5-1 锐角三角函数245

Ⅰ.锐角三角函数的定义247

Ⅱ.特别角的三角函数值251

Ⅲ.锐角三角函数的性质252

Ⅳ.锐角三角函数的应用254

Ⅴ.同角三角函数间的关系265

5-2 任意角三角函数275

Ⅰ.角的概念的推广277

Ⅱ.锐角三角函数的推广285

5-3 化任意角的三角函数为锐角三角函数291

Ⅰ.终边相同的角的三角函数291

Ⅱ.负角的三角函数292

Ⅲ.？～2π角的三角函数值293

Ⅳ.三角函数的周期性298

Ⅴ.简谐振动302

5-4 三角函数的性质、图形及其应用306

Ⅰ.正弦、余弦函数的性质和图形306

Ⅱ.函数y=Asin(αх+b)的性质和图形309

Ⅲ.正弦、余弦函数在电工方面的应用举例315

Ⅳ.正切、余切函数的性质和图形318

5-5 任意三角形的解法322

Ⅰ.任意三角形的边角关系322

Ⅱ.任意三角形的解法327

Ⅲ.应用问题举例339

5-6 两角和与差、倍角和半角的三角函数339

Ⅰ.两角和、两角差的正弦、余弦公式339

Ⅱ.倍角和半角的正弦、余弦公式342

Ⅲ.和、差、倍、半角的正切、余切公式343

Ⅰ.积化和差的公式353

5-7 积化和差与和差化积公式353

Ⅱ.和差化积的公式354

5-8 反三角函数360

Ⅰ.反正弦函数360

Ⅱ.反余弦函数、反正切函数、反余切函数363

5-9 三角函数在坐标法中的应用371

Ⅰ.两直线间的关系371

Ⅱ.坐标轴的旋转376

Ⅲ.圆锥曲线的一般方程(二)379

5-10 本章小结386

Ⅰ.三角函数的公式387

Ⅱ.三角形的边角关系389

Ⅲ.三角函数的性质和图形391

Ⅳ.三角函数的简化公式393

Ⅴ.反三角函数的性质和图形(主值)394

Ⅵ.两直线间的关系395

Ⅶ.坐标交换395

Ⅷ.圆锥曲线的一般方程395

第六章 实变一元函数的一般概念397

6-1 函数的基本概念397

Ⅰ.初等函数及其一般结构、复合函数404

6-2 函数的分类404

Ⅱ.隐函数与显函数407

Ⅲ.函数的特性及其类型408

6-3 初等函数的图形417

Ⅰ.对称变换417

Ⅱ.平稳变换419

Ⅲ.放缩变换420

6-4 运用函数关系描述事物的变化规律426

Ⅰ.几种常见的变化规律427

Ⅱ.参变量函数439

6-5 极坐标454

Ⅰ.极坐标的意义455

Ⅱ.极坐标与直角坐标之间的转化关系457

Ⅲ.圆锥曲线的极坐标方程462

6-6 曲线与方程间的辩证关系466

Ⅰ.曲线与方程的相对性467

Ⅱ.曲线方程的转化条件--坐标变换468

Ⅲ.建立曲线方程的必备条件473

结束语477