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第一章 函数1

1.1 函数概念1

1. 常量与变量1

2. 函数的定义2

3. 函数值4

4. 分段函数4

5. 函数的表示法5

6. 函数的图形5

习题及其答案6

1.2 函数的几种特性7

1. 奇偶性7

2. 单调性10

3. 周期性11

4. 有界性14

习题及其答案15

1.3 反函数16

1. 反函数概念16

2. 反函数的图形17

3. 反函数的存在性18

习题及其答案19

1.4 初等函数19

1. 基本初等函数19

2. 复合函数24

3. 初等函数25

4. 有理函数25

5. 双曲函数26

习题及其答案27

自我检查题27

习题选解29

自我检查题解答31

第二章 极限33

2.1 数列的极限33

1. 邻域的概念33

2. 数列的概念34

3. 数列的极限概念34

4. <ε-N>定义的几何解释36

5. 运用<ε-N>定义证明数列的极限举例37

6. 小结39

7. 一种错误的思想方法40

8. 子数列40

9. 原数列极限与子数列极限的关系41

10. 数列的有界性42

习题及其答案42

2.2 函数极限44

1. 自变数趋于无限时，函数的极限44

(1)x→+∞时，函数的极限44

(2)x→-∞时，函数的极限46

(3)x→∞时，函数的极限47

(4)自变数趋于无限的三种情况，函数极限的关系48

(5)小结49

习题及其答案49

2. 自变数趋于有限数时，函数的极限49

(1)x→x0时，函数的极限49

(2)x→x0-时，函数的极限53

(3)x→x0+时，函数的极限54

(4)自变数趋于有限数的三种情况，函数极限的关系55

(5)小结56

3. 用子数列判定函数极限不存在57

习题及其答案58

2.3 无穷小和无穷大59

1. 无穷小59

(1)无穷小的概念59

(2)有极限的函数与无穷小的关系60

(3)无穷小的性质60

习题及其答案61

2. 无穷大62

(1)无穷大的概念62

(2)定义的几何解释63

(3)利用定义证明函数为无穷大举例63

3. 无穷小与无穷大的关系64

3. 无界函数与无穷大的关系64

5. 总结66

习题及其答案66

习题选解66

2.4 极限的运算与性质70

1. 极限的四则运算70

2. 利用极限运算法则求极限举例71

3. 极限的性质77

习题及其答案79

2.5 极限存在准则 两个重要极限80

1. 两个极限存在准则80

2. 利用两个准则证明两个重要极限81

3. 利用两个重要极限求极限举例84

4. 利用两个极限存在准则求极限举例87

习题及其答案88

2.6 无穷小的比较89

1. 两个无穷小的比较89

2. 利用等价无穷小求极限91

习题及其答案92

自我检查题93

习题选解93

自我检查题解答102

第三章 连续函数104

3.1 函数在一点的连续性104

1. 增量的概念104

2. 函数在一点连续的概念105

3. 左、右连续的概念107

4. 区间连续与连续函数108

习题及其答案109

3.2 函数的间断点 间断点分类110

1. 间断点的概念110

2. 间断点分类110

习题及其答案112

3.3 连续函数的运算 初等函数的连续性113

1. 连续函数的四则运算113

2. 基本初等函数的连续性114

3. 复合函数的连续性114

4. 初等函数的连续性115

5. 利用连续性求极限115

6. 利用复合函数的极限运算定理求极限举例116

7. 连续函数的保号性117

习题及其答案117

3.4 闭区间上连续函数的基本定理118

1. 零值定理118

2. 最大最小值定理119

3. 介值定理120

习题及其答案122

自我检查题123

讨论题123

习题选解125

自我检查题解答127

讨论题解答128

第四章 导数131

4.1 导数概念131

1. 三个实际问题131

2. 函数在一点的导数概念133

3. 导数的几何意义135

习题及其答案136

4. 左、右导数概念137

5. 导函数137

6. 可导与连续的关系138

7. 函数在一点不可导139

8. 几个基本初等函数的导数公式140

习题及其答案142

4.2 求导的运算法则143

1. 求导的四则运算法则143

2. 复合函数求导法则146

3. 隐函数的概念及隐函数求导法150

4. 基本初等函数的导数公式和导数运算法则汇集153

习题及其答案153

5. 对数求导法155

6. 初等函数求导小结156

7. 分段函数求导举例156

8. 杂例157

习题及其答案159

4.3 高阶导数160

1. 二阶导数的概念160

2. 二阶导数的力学意义161

3. 高阶导数162

习题及其答案165

4.4 导数的应用举例166

习题及其答案168

自我检查题169

习题选解169

自我检查题解答174

第五章 微分176

5.1 微分的概念176

1. 为什么要引入微分176

2. 微分的定义177

3. 可微与可导的关系178

4. 微分的几何意义179

5. 函数不可微180

习题及其答案180

5.2 微分的运算法则 微分形式的不变性181

1. 微分的运算法则181

2. 微分形式的不变性--复合函数微分法则182

习题及其答案184

5.3 微分在近似计算中的应用185

1. 用线性函数近似代替非线性函数185

2. 用切线的纵坐标近似代替曲线的纵坐标186

3. 求一个未知函数的微分187

习题及其答案188

5.4 由参数方程所表示的函数的导数188

习题及其答案190

讨论题190

习题选解192

第一次考试试题195

讨论题解答196

第一次考试试题解答197

第六章 微分学基本定理200

6.1 罗尔定理200

习题及其答案202

6.2 拉格朗日中值定理203

习题及其答案207

6.3 柯西中值定理208

习题及其答案211

6.4 泰勒中值定理212

习题及其答案220

6.5 罗必塔法则221

习题及其答案229

6.6 皮亚诺余项的n阶泰勒公式及其应用230

习题及其答案232

讨论题233

自我检查题234

习题选解235

讨论题解答244

自我检查题解答246

第七章 导数的应用248

7.1 函数的单调性248

习题及其答案252

7.2 函数的极值253

习题及其答案259

7.3 函数的最大值和最小值259

习题及其答案266

7.4 曲线的凹凸性与拐点267

习题及其答案272

7.5 曲线的渐近线272

习题及其答案275

7.6 函数图形的描绘275

习题及其答案278

7.7 平面曲线的曲率278

习题及其答案286

讨论题286

自我检查题287

习题选解287

讨论题解答294

自我检查题解答295