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第十四章 重积分1

14.1 两个实际问题1

1. 曲顶柱体的体积问题1

2. 平面薄片的质量问题3

14.2 二重积分的概念4

1. 二重积分的定义及可积条件4

2. 二重积分的几何意义5

3. 直角坐标系中的面积元素6

4. 利用对称性及奇偶性计算二重积分7

习题及其答案9

14.3 二重积分的性质10

习题及其答案13

14.4 直角坐标系下，二重积分的计算14

1. 矩形区域14

2. 任意区域16

习题及其答案23

14.5 极坐标系下，二重积分的计算24

习题及其答案32

14.6 二重积分的应用32

1. 曲面的面积33

2. 平面薄片的重心36

3. 平面薄片的转动惯量38

习题及其答案41

自我检查题41

习题选解42

自我检查题解答49

14.7 三重积分的概念52

5. 利用对称性及奇偶性计算三重积分53

4. 三重积分的性质53

3. 三重积分存在的条件53

1. 物体的质量问题53

2. 三重积分的定义53

14.8 三重积分的计算54

1. 在直角坐标系下，三重积分的计算54

习题及其答案55

习题及其答案65

2. 在柱面坐标系下，三重积分的计算65

习题及其答案70

3. 在球面坐标系下，三重积分的计算70

习题及其答案74

14.9 三重积分的应用75

1. 物体的重心坐标75

2. 物体的转动惯量77

习题及其答案78

习题选解79

自我检查题79

第四次考试试题86

自我检查题解答87

第四次考试试题解答89

第十五章 曲线积分93

15.1 有向曲线的概念93

1. 光滑曲线，分段光滑曲线93

2. 有向曲线弧93

15.2 对弧长的曲线积分94

1. 曲线形物件的质量问题94

2. 对弧长的曲线积分定义95

3. 对弧长的曲线积分性质96

4. 对弧长的曲线积分与定积分的关系96

5. 对弧长的曲线积分的计算97

6. 利用奇偶性与对称性计算对弧长的曲线积分99

7. 对弧长的曲线积分的应用100

习题及其答案102

15.3 对坐标的曲线积分103

1. 变力曲线运动的作功问题103

2. 对坐标的曲线积分定义104

3. 对坐标的曲线积分性质105

4. 对坐标的曲线积分与定积分的关系106

5. 对坐标的曲线积分的计算106

6. 对坐标的曲线积分应用112

7. 两类曲线积分的关系112

习题及其答案114

15.4 二重积分与平面闭曲线积分的关系--格林公式115

1. 格林公式115

2. 牛顿-莱布尼兹公式与格林公式117

3. 格林公式的应用118

习题及其答案120

15.5 曲线积分与路径无关问题121

习题及其答案127

15.6 全微分的准则及原函数的求法128

习题及其答案134

自我检查题134

习题选解135

自我检查题解答140

第十六章 曲面积分143

16.1 有向曲面的概念143

1. 光滑曲面，分段光滑曲面143

2. 有向曲面143

16.2 对面积的曲面积分144

1. 曲面形物体的质量问题144

3. 对面积的曲面积分的性质145

2. 对面积的曲面积分定义145

5. 对面积的曲面积分计算146

4. 二重积分与对面积的曲面积分的关系146

6. 利用奇偶性与对称性计算对面积的曲面积分149

7. 对面积的曲面积分的应用150

习题及其答案152

16.3 对坐标的曲面积分153

1. 流量问题153

2. 对坐标的曲面积分定义155

3. 对坐标的曲面积分的性质156

4. 二重积分与对坐标的曲面积分的关系157

5. 对坐标的曲面积分的计算157

6. 两类曲面积分的关系159

习题及其答案164

1. 高斯公式165

16.4 三重积分与曲面积分的关系--高斯公式165

2. 牛顿-莱布尼兹公式与高斯公式167

3. 高斯公式的应用167

习题及其答案172

16.5 空间曲线积分与曲面积分的关系-斯托克斯公式172

习题及其答案175

习题选解177

自我检查题181

说出积分结果与订正错误比赛182

自我检查题解答184

比赛答案185

第十七章 微分方程186

17.1 两个实际问题186

17.2 微分方程的基本概念188

习题及其答案190

17.3 变数可分离的一阶微分方程191

习题及其答案193

17.4 可化为变数可分离的方程194

1. ？型方程194

习题及其答案196

2. ？型方程196

习题及其答案200

3. ？型方程201

习题及其答案203

4. 其它变数变换203

习题及其答案204

17.5 全微分方程205

1. 全微分方程205

2. 可化为全微分的方程206

习题及其答案209

17.6 可降阶的高阶微分方程210

1. y″=f(x)型方程210

2. y″=f(x,y′)型方程211

3. y″=f(y,y′)型方程211

习题及其答案212

自我检查题214

习题选解214

自我检查题解答218

17.7 二阶线性方程及其解的结构219

1. 二阶线性方程的基本概念220

2. 线性相关与线性无关220

3. 二阶线性方程解的结构221

习题及其答案227

4. n阶线性方程解的结构227

17.8 二阶常系数齐次线性微分方程228

习题及其答案231

17.9 二阶常系数非齐次线性微分方程231

1. ?型232

习题及其答案235

2. ?型236

习题及其答案239

17.10 欧拉方程240

习题及其答案243

17.11 微分方程组244

1. 化微分方程组为高阶微分方程244

2. 首次积分法246

3. 达朗背尔法248

习题及其答案251

17.12 微分方程应用题举例252

习题及其答案261

习题选解262

自我检查题268

判定方程类型与观察特解比赛268

第五次考试试题269

自我检查题解答270

比赛答案272

第五次考试试题解答272

第十八章 常数项级数275

18.1 级数的基本概念275

习题及其答案278

18.2 级数的性质279

习题及其答案282

18.3 级数收敛的必要条件282

18.4 正项级数的剑散性判定法283

习题及其答案283

1. 比较判定法285

2. 比值判定法286

3. 根值判定法288

习题及其答案290

18.5 交错级数敛散性判定法292

习题及其答案294

18.6 绝对收敛与条件收敛294

习题及其答案297

自我检查题297

习题选解298

自我检查题解答301

1. 函数项级数303

第十九章 幂级数303

19.1 函数项级数与幂级数的基本概念303

2. 幂级数304

19.2 幂级数的收敛半径与收敛区间304

1. 幂级数收敛域的结构304

2. 幂级数的收敛半径的求法306

3. 幂级数的更一般形式308

4. 某些函数项级数的收敛域求法举例309

习题及其答案310

19.3 幂级数的运算310

1. 加、减、乘运算310

19.5 幂级数在近似计算中的应用311

习题及其答案311

2. 分析运算311

习题选解316

习题及其答案316

19.4 函数展成幂级数321

1. 泰勒级数321

2. 直接展开法323

3. 间接展开法325

4. 待定系数法328

习题及其答案335

自我检查题335

习题选解336

自我检查题解答340

第二十章 傅立叶级数343

20.1 三角级数与三角函数系的正交性343

1. 三角级数343

2. 三角函数系的正交性344

习题及其答案345

20.2 傅立叶级数345

1. 傅立叶系数345

2. 傅立叶级数收敛的充分条件348

习题及其答案353

20.3 正弦级数与余弦级数354

1. 奇函数和偶函数的傅立叶级数354

2. 函数展成正弦级数或余弦级数356

习题及其答案360

20.4 周期为2ι的周期函数展成傅立叶级数361

习题及其答案365

20.5 微分方程的级数解法举例366

习题及其答案368

自我检查题369

习题选解369

第六次考试试题374

自我检查题解答375

第六次考试试题解答376

结束语379