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目录1

第一篇 场的数学描写方法1

第一章 数量场的梯度1

§1场和场的图解1

1.1场的概念和场的数学表示方法1

1.2场的分类和场的图形表示法3

§2方向导数8

2.1方向导数的定义8

2.2方向导数的计算公式9

§3梯度12

3.1梯度的定义12

3.2梯度的性质及其另一种定义13

3.3梯度的运算法则14

§4梯度的几何性质17

4.1梯度的几何性质17

4.2梯度场的几何作法20

第二章 矢量场的散度23

§1散度及其计算公式23

1.1发散量23

1.2散度25

1.3散度在直角坐标下的计算公式27

1.4散度的运算法则30

2.1Gauss定理32

§2Gauss定理32

2.2Gauss定理在积分计算中的应用35

2.3Gauss定理与三重积分的分部积分38

2.4质量守恒与连续性方程39

第三章 矢量场的旋度42

§1涡旋量及其计算42

1.1旋转量（环量）42

1.2涡旋量46

1.3涡旋量的计算公式47

§2旋度及其计算51

2.1空间矢量场的旋度51

2.2旋度在直角坐标系下的计算式52

§3Green公式和Stokes公式55

3.1Green公式55

3.2Stokes公式58

3.3Green公式和Stokes公式在积分计算中的应用60

3.4Green公式与二重积分的分部积分64

3.5两个基本方程的建立65

§4位场和标量势68

4.1空间矢量场的标量势70

4.2平面矢量场的标量势77

1.1？算符80

§1？算符及其运算法则80

第四章 ？算符和三度在球、柱坐标系下的计算式80

1.2？算符的运算法81

1.3？算符的线性运算性质84

1.4？算符的复合运算法则85

§2梯度、散度、旋度、？2算符在柱坐标系下的计算式87

2.1？算符在柱坐标系下的表达式87

2.2单位矢量e？、e？、e？的“微商”公式89

2.3散度在柱坐标系下的计算式90

2.4旋度在柱坐标系下的计算式91

2.5？2算符在柱坐标系下的表达式92

3.1？算符在球坐标系下的表达式93

§3梯度、散度、旋度、？2算符在球坐标系下的计算式93

3.2单位矢量e？、e？、e？的“微商”公式94

3.3散度在球坐标系下的计算式95

3.4旋度、？2算符在球坐标系下的表达式96

第二篇 无穷级数99

第五章 数值级数99

§1级数的收敛、发散概念100

1.1收敛、发散概念100

1.2级数的基本性质102

§2正项级数的收敛、发散判别法106

2.1比较判别法106

2.2D Alembert判别法、Cauchy判别法110

2.3积分判别法113

§3任意项级数的敛散性判别117

3.1Cauchy收敛准则、Leibniz判别法117

3.2绝对收敛与条件收敛120

3.3Abel判别法和Dirichet判别法121

3.4级数的乘法123

第六章 函数级数126

§1收敛域、函数级数的和函数126

1.1收敛域的概念126

1.3和函数与函数级数的逐点收敛128

1.2和函数的概念128

§2函数级数的一致收敛129

2.1一致收敛的概念129

2.2一致收敛的判别法131

2.3内部一致收敛136

§3和函数的性质138

3.1和函数的连续性139

3.2逐项积分性质140

3.3逐项微商定理141

第七章 幂级数143

§1收敛域的结构与求法143

1.1Abel引理及其推论143

1.2收敛域的结构与求法145

1.3幂级数的乘法147

§2和函数的性质150

2.1内部一致收敛的性质150

2.2逐项求导幂级数的收敛半径151

2.3和函数的性质152

§3初等函数的幂级数展开156

3.1必要条件156

3.2充分条件158

3.3初等函数在x＝0点的Taylor展式160

1.1形式Fourier级数166

§1形式Fourier级数166

第八章 Fourier级数166

1.2求形式Fourier级数的例子168

1.3Besel不等式和Riemann引理170

§2收敛定理173

2.1引理和命题173

2.2收敛定理及其推论180

2.3Fourier级数的指数形式188

§3一般区间上的Fourier级数展开191

3.1收敛定理及其推论191

3.2展开例子194

4.1内积概念和基本不等式196

§4广义Fourier级数196

4.2正交归一化系198

4.3广义Fouier级数及其收敛概念199

4.4完全系的概念及其判别200

第三篇 常微分方程203

第九章 一阶微分方程的解法203

§1常微分方程举例和基本概念204

1.1常微分方程举例204

1.2基本概念204

§2可分离变量的方程208

2.1可分离变量的方程208

2.2齐次方程209

2.3准齐次方程211

§3一阶线性方程214

3.1齐次线性方程215

3.2非齐次线性方程215

3.3Bernoulli方程217

§4恰当方程和积分因子221

4.1恰当方程的概念221

4.2恰当方程的判别221

4.3积分因子的概念226

4.4积分因子的求法227

5.1参数形式的解233

§5一阶隐式方程233

5.2方程y＝f（x，y′）234

5.3方程x＝f（y，y′）236

第十章 高阶方程和方程组的解法239

§1特殊的非线性高阶方程的解法239

1.1？＝f（x）型的方程239

1.2y″＝f（x，y′）型的方程241

1.3y″＝f（y，y′）型的方程242

1.4解题的灵活性243

§2二阶线性方程的解法246

2.1通解结构定理246

2.2置换法和视常数为变数法247

2.3常系数齐次线性方程的通解251

2.4待定系数法254

2.5幂级数解法260

§3方程组的初等积分法264

3.1方程组的概念264

3.2方程组中的名称265

3.3方程组的解法267

第十一章 高阶线性方程274

§1解的存在与唯一性定理274

1.1Lipschtz条件274

1.2一阶正规形方程解的存在与唯一性定理275

2.1函数的线性相关和线性无关279

1.3高阶线性方程解的存在与唯一性定理279

§2函数间的线性关系279

2.2相关性的判别281

§3通解结构定理285

3.1齐次方程通解的结构定理285

3.2非齐次方程通解的结构定理286

3.3常系数齐次方程的基本解组287

3.4解非齐次方程的待定系数法290

§4奇解293

4.1奇解的概念293

4.2奇解的求法295

1.1一阶偏微分方程304

第十二章 一阶偏微分方程304

§1名称和基本概念304

1.2通解和特解305

§2一阶线性齐次方程306

2.1特征方程组306

2.2首次积分与通解308

2.3多个自变量的线性齐次方程312

§3一阶拟线性方程314

3.1拟线性方程的解法314

3.2初值问题的解法316

答案与提示320