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第八章 多元函数微分法及其应用1

第一节 多元函数的基本概念1

一、区域1

二、多元函数概念4

三、多元函数的极限7

四、多元函数的连续性10

习题8-113

第二节 偏导数14

一、偏导数的定义及其计算法14

二、高阶偏导数19

习题8-221

第三节 全微分及其应用22

一、全微分的定义22

二、全微分在近似计算中的应用27

习题8-330

第四节 多元复合函数的求导法则31

习题8-439

第五节 隐函数的求导公式40

一、一个方程的情形40

二、方程组的情形43

习题8-547

一、空间曲线的切线与法平面48

第六节 微分法在几何上的应用48

二、曲面的切平面与法线53

习题8-656

第七节 方向导数与梯度57

一、方向导数57

二、梯度60

习题8-764

第八节 多元函数的极值及其求法65

一、多元函数的极值及最大值、最小值65

二、条件极值拉格朗日乘数法71

一、二元函数的泰勒公式75

第九节 二元函数的泰勒公式75

习题8-875

二、极值充分条件的证明80

一、二重积分的概念80

习题8-983

第十节 最小二乘法83

习题8-1089

第九章 重积分90

第一节 二重积分的概念与性质90

二、二重积分的性质94

习题9-196

一、利用直角坐标计算二重积分98

第二节 二重积分的计算法98

习题9-2(1)107

二、利用极坐标计算二重积分109

习题9-2(2)115

三、二重积分的换元法117

习题9-2(3)123

第三节 二重积分的应用124

一、曲面的面积125

二、平面薄片的重心128

三、平面薄片的转动惯量130

四、平面薄片对质点的引力131

习题9-3133

第四节 三重积分的概念及其计算法134

习题9-4138

第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分140

一、利用柱面坐标计算三重积分140

二、利用球面坐标计算三重积分142

习题9-5148

第六节 含参变量的积分150

习题9-6156

第十章 曲线积分与曲面积分158

第一节 对弧长的曲线积分158

一、对弧长的曲线积分的概念与性质158

二、对弧长的曲线积分的计算法161

习题10-1165

第二节 对坐标的曲线积分166

一、对坐标的曲线积分的概念与性质166

二、对坐标的曲线积分的计算法170

三、两类曲线积分之间的联系176

习题10-2178

第三节 格林公式及其应用179

一、格林公式179

二、平面上曲线积分与路径无关的条件185

三、二元函数的全微分求积188

习题10-3192

一、对面积的曲面积分的概念与性质194

第四节 对面积的曲面积分194

二、对面积的曲面积分的计算法195

习题10-4199

第五节 对坐标的曲面积分201

一、对坐标的曲面积分的概念与性质201

三、两类曲面积分之间的联系201

二、对坐标的曲面积分的计算法207

习题10-5213

第六节 高斯公式 通量与散度214

一、高斯公式214

二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件219

三、通量与散度220

习题10-6222

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度224

一、斯托克斯公式224

二、空间曲线积分与路径无关的条件230

三、环流量与旋度232

四、向量微分算子234

习题10-7235

第十一章 无穷级数237

第一节 常数项级数的概念和性质237

一、常数项级数的概念237

二、无穷级数的基本性质241

三、级数收敛的必要条件243

四、柯西审敛原理245

习题11-1246

第二节 常数项级数的审敛法247

一、正项级数及其审敛法247

二、交错级数及其审敛法256

三、绝对收敛与条件收敛258

习题11-2264

第三节 广义积分的审敛法 Γ-函数265

一、广义积分的审敛法265

二、Γ-函数272

习题11-3274

第四节 幂级数275

一、函数项级数的一般概念275

二、幂级数及其收敛性276

三、幂级数的运算282

习题11-4285

第五节 函数展开成幂级数286

一、泰勒级数286

二、函数展开成幂级数289

习题11-5297

一、近似计算298

第六节 函数的幂级数展开式的应用298

二、欧拉公式303

习题11-6305

第七节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质305

一、函数项级数的一致收敛性305

二、一致收敛级数的基本性质310

习题*11-7316

第八节 傅立叶级数317

一、三角级数 三角函数系的正交性317

二、函数展开成傅立叶级数320

习题11-8328

一、奇函数和偶函数的傅立叶级数329

第九节 正弦级数和余弦级数329

二、函数展开成正弦级数或余弦级数333

习题11-9335

第十节 周期为2ι的周期函数的傅立叶级数336

习题11-10340

第十一节 傅立叶级数的复数形式341

习题11-11344

第十二章 微分方程345

第一节 微分方程的基本概念345

习题12-1350

第二节 可分离变量的微分方程351

习题12-2359

第三节 齐次方程360

一、齐次方程360

二、可化为齐次的方程365

习题12-3368

第四节 一阶线性微分方程368

一、线性方程368

二、贝努利方程372

习题12-4375

第五节 全微分方程376

习题12-5379

第六节 欧拉-柯西近似法380

一、y(n)=f(x)型的微分方程385

习题12-6385

第七节 可降阶的高阶微分方程385

二、y″=f(x，y′)型的微分方程388

三、y″=f(y，y′)型的微分方程391

习题12-7394

第八节 高阶线性微分方程395

一、二阶线性微分方程举例395

二、线性微分方程的解的结构398

三、常数变易法401

习题12-8405

第九节 二阶常系数齐次线性微分方程406

习题12-9416

第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程417

一、f(x)=eλxPm(x)型418

二、f(x)=eλx［Pι(x)eosωx+Pn(x)sinωx］型421

习题12-10425

第十一节 欧拉方程426

习题12-11428

第十二节 微分方程的幂级数解法428

习题12-12433

第十三节 常系数线性微分方程组解法举例433

习题12-13437

习题答案439