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第一章一阶常微分方程1

1·1 基本概念和基本思想1

1·2 几何考虑·等斜线7

1·3 可分离变量的方程9

1·4 可化为可分离变量形式的方程17

1·5 恰当微分方程19

1·6 积分因子22

1·7 一阶线性微分方程25

1·8 电路27

1·9 曲线族·正交轨线33

1·10 解的存在性与唯一性36

第二章线性常微分方程42

2·1 二阶齐次线性方程42

2·2 常系数齐次二阶方程45

2·3 通解·基本解组·初值问题47

2·4 特征方程的实根、复根和重根51

2·5 自由振动55

2·6 柯西方程62

2·7 解的存在性与唯一性64

2·8 任意阶齐次线性方程68

2·9 任意阶常系数齐次线性方程71

2·10 非齐次线性方程74

2·11 解非齐次线性方程的待定系数法75

2·12 受迫振动·共振78

2·13 电路85

2·14 非齐次方程的一般解法91

第三章微分方程组·相平面·稳定性94

3·1 微分方程组94

3·2 相平面99

3·3 奇点·稳定性104

第四章微分方程的幂级数解·正交函数110

4·1 幂级数法110

4·2 幂级数法的理论基础114

4·3 勒让德方程和勒让德多项式118

4·4 广义幂级数法·指示方程123

4·5 贝塞尔方程和第一类贝塞尔函数125

4·6 第二类贝塞尔函数131

4·7 正交函数系136

4·8 斯图姆一刘微尔问题141

4·9 勒让德多项式和贝塞尔函数的正交性146

第五章拉普拉斯变换150

5·1 拉普拉斯变换150

5·2 导数与积分的拉普拉斯变换153

5·3 在s-轴上的位移·在t-轴上的位移·单位阶梯函数160

5·4 拉普拉斯变换的微分与积分168

5·5 卷积170

5·6 部分分式175

5·7 周期函数进一步的应用180

附 拉普拉斯变换表188

第六章向量微分学·向量？191

6·1 标量场和向量场191

6·2 向量微分学194

6·3 曲线197

6·4 弧长200

6·5 切线202

6·6 速度和加速度204

6·7 多元函数的链锁法则·中值定理207

6·8 方向导数·标量场的梯度210

6·9 坐标变换和向量分量的变换216

6·10 向量场的散度219

6·11 向量场的旋度223

7·1 线积分227

第七章线积分与面积分·积分理论227

7·2 线积分的计算229

7·3 二重积分233

7·4 化二重积分为线积分239

7·5 曲面243

7·6 切平面·第一基本形式·面积246

7·7 面积分250

7·8 三重积分·高斯散度定理256

7·9 散度定理的应用260

7·10 斯托克斯定理266

7·11 与路径无关的线积分273

第八章傅立叶级数和傅立叶积分281

8·1 周期函数·三角级数281

8·2 傅立叶级数·欧拉公式283

8·3 具有任意周期的函数289

8·4 偶函数和奇函数291

8·5 半幅延拓296

8·6 强迫振动299

8·7 傅立叶积分302

第九章偏微分方程309

9·1 基本概念309

9·2 模型建立·弦振动·一维波动方程312

9·3 分离变量法314

9·4 波动方程的达朗贝尔解323

9·5 一维热传导方程326

9·6 建立模型·膜振动·二维波动方程333

9·7 矩形膜336

9·8 圆形膜·贝塞尔方程344

9·9 拉普拉斯方程·位势350

9·10 球坐标下的拉普拉斯方程·勒让德方程353

9·11 拉普拉斯变换对偏微分方程的应用358

第十章复数·复解析函数365

10·1 复数366

10·2 复数的三角形式·三角不等式370

10·3 复平面中的曲线和区域373

10·4 复函数·极限·导数·解析函数376

10·5 柯西—黎曼方程·拉普拉斯方程381

10·6 有理函数·根388

10·7 指数函数391

10·8 三角函数和双曲函数393

10·9 对数·广义幂396

第十一章保形映射401

11·1 映射401

11·2 保形映射409

11·3 线性分式变换416

11·4 特殊的线性分式变换419

11·5 其他初等函数所确定的映射424

第十二章复积分436

12·1 复平面中的线积分436

12·2 复线积分的基本性质443

12·3 柯西积分定理445

12·4 用不定积分计算线积分451

12·5 柯西积分公式455

12·6 解析函数的导数458

第十三章序列和级数463

13·1 序列463

13·2 级数467

13·3 序列和级数的柯西收敛准则470

13·4 判别级数收敛和发散法则473

13·5 级数运算478

14·1 幂级数484

第十四章幂级数·泰勒级数·罗朗级数484

14·2 函数的幂级数表达式491

14·3 泰勒级数496

14·4 基本函数的泰勒级数502

14·5 求幂级数的实际方法504

14·6 一致收敛508

14·7 罗朗级数515

14·8 零点和奇点522

15·1 留数527

第十五章留数和积分计算527

15·2 留数定理531

15·3 定积分的计算534

第十六章复解析函数和位势理论541

16·1 静电场541

16·2 二维空间中的液体流动546

16·3 调和函数的基本性质553

16·4 泊松积分公式558

习题参考答案564