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第一章微分方程与差分方程1

一、微分方程式1

(一)概述1

(二)一阶线性微分方程的解4

(三)常系数线性微分方程的通解7

1.微分算子及其性质7

2.通解的一般形式8

(四)常系数微分方程的特解10

1.消除强迫函数算子法10

2.分解齐次方程算子法13

3.待定系数法19

(五)常系数线性微分方程组的解21

(六)应用例题23

二、差分方程式30

(一)概述30

(二)差分的定义32

(三)齐次差分方程的解35

1.通解及其线性差分方程算子35

2.应用例题37

(四)差分方程的特解38

1.消除强迫函数算子法38

2.待定系数法42

三、微分方程初值问题的数值解43

(一)概述44

1.离散化44

2.微分方程的特解转化为差分方程的数值解44

3.数值解的精度46

(二)尤拉法47

(三)龙格-库塔法51

参考文献55

第二章褶积56

一、概述57

(一)单位脉冲序列57

(二)褶积的定义57

(三)褶积的性质59

(四)褶积的计算步骤59

二、褶积的阵列方法61

三、闭形脉冲响应函数的解法64

(一)开型与闭型的解函数64

(二)闭型解函数的求法65

(三)初始条件的确定67

四、褶积的算子运算方法68

五、两个连续时间函数的褶积70

(一)狄拉克 δ(ｔ)函数70

(二)褶积的连续形式72

六、阶跃响应与脉冲响应的关系74

(一)基本关系74

(二)三个重要定理76

七、由微分方程求脉冲响应79

八、褶积的逆84

参考文献86

第三章线性代数87

一、列向量87

(一)列向量的定义87

(二)列向量的运算88

(三)向量的线性相关与线性无关90

二、矩阵91

(一)矩阵的定义91

(二)矩阵的运算94

(三)矩阵的应用举例105

三、矩阵的相似变换112

(一)相似矩阵112

(二)本征值与本征向量113

(三)相似矩阵的本征值115

(四)本征矩阵与若当典则矩阵118

1.本征矩阵及其有关性质118

2.相似变换矩阵的确定120

3.相似矩阵的基本定理125

四、欧几里得空间的内(标量)积127

(一)内积与范数的定义127

(二)许瓦尔兹(Schwartz)不等式132

(三)正交与自然基向量132

(四)内积与点积134

(五)列向量与矩阵的内积135

五、二次型及其定义符号矩阵136

六、时变向量与矩阵138

(一)时间导数139

(二)时间积分141

七、梯度向量与雅可比矩阵143

参考文献148

第四章z 变换149

一、z 变换的定义149

二、z 变换的闭型表达式151

三、典型 z 变换函数154

四、z 变换的重要定理158

五、z 变换定理的应用165

六、z 变换的收敛范围171

七、逆 z 变换174

(一)长除法174

(二)分部分数展开法176

(三)应用留数定理182

八、扩充 z 变换187

(一)扩充 z 变换的定义187

(二)典型的扩充 z 变换函数188

(三)逆扩充 z 变换189

九、z 变换的应用190

参考文献196

第五章傅利叶变换197

一、正交函数集197

二、函数的近似199

三、傅利叶级数204

四、傅利叶变换207

五、傅利叶变换的特性213

六、能量谱与功率谱222

七、傅利叶变换在数字采样控制中的应用225

八、离散傅利叶变换228

九、快速傅利叶变换232

参考文献239

第六章拉普拉斯变换241

一、拉普拉斯变换与傅利叶变换的关系241

二、拉普拉斯变换的收敛范围242

三、拉普拉斯变换的性质245

四、逆拉普拉斯变换250

(一)单向拉普拉斯逆变换250

1.分部分数展开法250

2.留数展开法256

(二)双向拉普拉斯逆变换258

五、s 传递函数260

六、拉普拉斯变换与 z 变换的关系261

七、拉普拉斯变换的应用265

参考文献273

第七章时域运算274

一、状态方程274

(一)状态方程的一般形式274

(二)微分方程转换成状态方程278

(三) s 传递函数变换成状态方程282

(四) z 传递函数变换成状态方程289

二、状态方程的解293

(一)定常线性系统293

(二)时变系统299

(三)线性离散系统300

三、状态变量的线性变换303

四、转移矩阵 eAt 与对角线化转换矩阵 P 的计算方法310

(一)转移矩阵的计算310

1.相似变换法310

2.最小多项式计算法310

3.拉普拉斯逆变换法314

4.指数函数展开法317

(二)对角线化转换矩阵 P 的计算317

五、可控性与可观测性矩阵323

(一)可观测性323

1.可观测性的格兰姆矩阵324

2.线性定常连续时间系统的可观测性判断矩阵325

3.线性定常离散系统的可观测性判断矩阵328

(二)可控性329

1.可控性的格兰姆矩阵330

2.线性定常连续时间系统的可控性判断矩阵332

3.线性定常离散时间系统的可控性判断矩阵335

六、李雅普诺夫方程与李雅普诺夫函数337

(一)稳定性337

(二)李雅普诺夫函数339

(三)李雅普诺夫方程的解341

(四)李雅普诺夫函数的构成342

七、黎卡提方程345

(一)控制系统的黎卡提方程345

(二)确定在终端时刻 T 的伴随变量 P(T)348

(三)黎卡提方程的数值解350

1.尤拉法351

2.霍因法353

3.四阶龙格-库塔法354

(四)克莱曼方法359

(五)波特尔(Potter)方法362

参考文献364

第八章集与空间365

一、集的定义365

二、集的运算366

三、函数368

四、距离368

五、域与极限369

六、开集与闭集371

七、测度373

八、零集374

九、边界上的集374

十、稠密与致密集375

十一、空间378

十二、超几平面与锥381

十三、凸集与凸锥384

十四、应用举例388

参考文献400

第九章变分方法401

一、概述401

二、欧拉方法404

(一)欧拉方程404

(二)具有限制条件的欧拉方程411

(三)控制系统的变分表示式413

三、希尔伯脱空间的变分原理416

(一)算子的概念416

(二)变分原理419

(三)吕兹方法422

(四)吕兹方法与欧拉方法的比较428

参考文献432

第十章概率论与随机过程433

一、概率的定义433

二、概率函数437

(一)离散随机变数的概率分布437

(二)连续随机变数的概率分布440

1.高斯分布密度443

2.多维概率分布密度444

三、概率的基本运算法则450

(一)离散型451

(二)连续型453

四、随机变量的数字特征与白噪声455

(一)数学期望455

(二)方差457

(三)协方差矩阵460

(四)矩468

(五)相关函数469

(六)白噪声470

五、概率论在控制理论中的应用471

六、随机过程475

(一)随机过程的特性475

(二)随机序列的收敛477

(三)随机变量的微分与积分478

七、特定的随机过程483

(一)马尔柯夫过程483

(二)平稳过程486

(三)独立增量过程与维纳过程488

(四)特定随机过程的应用494

八、滤波、预测与平滑500

(一)最佳准则与预测501

(二)离散过程的滤波504

(三)离散过程的平滑507

九、伊藤积分511

(一)eξ(t)的增量近似函数512

(二)维纳积分513

(三)伊藤积分的定义514

(四)伊藤积分的性质515

(五)二阶随机积分516

(六)伊藤随机微分517

(七)伊藤积分运算520

参考文献523