《数学物理方法 1》求取 ⇩

第一章 线性代数和二次型1

§1．线性方程和线性变换1

1．矢量1

2．正交矢量组．完备性3

3．线性变换．矩阵4

4．双线型、二次型和赫米特型9

5．正交变换和复正交变换11

§2．合线性参数的线线性变换13

§3．二次型和赫米特型的主轴变换18

1．根据极大值原理作主轴变换18

2．本徵值20

3．推广于赫米特型22

4．二次型的惰性定理22

5．二次型的预解式的表示22

6．与二次型相联属的线性方程组的解23

§4．本徵值的极小-极大性25

1．用一极小-极大问题表徵本徵值25

2．应用．约束26

§5．补充材料及问题27

1．线性独立性及格莱姆行列式27

2．行列式的哈达马不等式28

3．正则变换的广义处理29

4．无穷多个变数的双线型和二次型32

5．无穷小线性变换32

6．微扰34

7．约束35

8．矩阵或双线型的初等除数35

9．复正交矩阵的谱36

参考文献37

第二章 任意函数的级数展开38

§1．正交函数组38

1．定义38

2．一组函数的正交化39

3．贝塞不等式．完备性关系．平均逼近40

4．无穷多个变数的正交变换和复正交变换43

5．在多个自变数及更一般的假定下上述结果的正确性44

6．多变数完备函数组的造成44

§2．面数的聚点定理45

1．函数空间的收敛性45

§3．独立性测度和维数48

1．独立性测度48

2．一函数敍列的渐近维数49

1．维尔司察斯逼近定理51

§4．维尔司察斯逼近定理．幂函数和三角函数的完备性51

2．推广到多元函数的情形52

3．函数及其微商同时用多项式逼近53

4．三角函数的完备性53

§5．富理叶级数54

1．基本定理的证明54

2．重富理叶级数57

3．富理叶系数的数量级58

4．基本区间长度的更改58

5．例58

1．基本定理60

§6．富理叶积分60

2．把上节结果推广到多元函数的情形62

3．互逆公式62

§7．富理叶积分的例子63

§8．勒上特多项式64

1．从幂函数1，x，x~2，…的正交化作出勒上特多项式64

2．母函数66

3．勒上特多项式的其它性质67

(a)递推公式67

(b)微分方程67

1．导至勒上特多项式的问题的推广68

(c)最小性68

§9．其它正交组的例子68

2．切比雪夫多项式69

3．雅可比多项式71

4．赫米特多项式72

5．拉盖尔多项式73

6．拉盖尔和赫米特函数的完备性75

§10．补充材料和问题76

1．等周问题的胡维茨解76

3．富理叶积分和平均收敛性78

2．互逆公式78

4．由富理叶级数和积分所得的谱分解79

5．稠密函数组79

6．赫·明兹关于幂函数完备性的一个定理80

7．费叶求和定理80

8．梅林反演公式81

9．吉普斯现象83

10．关于格莱姆行列式的一个定理85

11．勒贝格积分的应用85

参考文献87

1．符号和基本概念89

§1．引论89

第三章 线性积分方程89

2．以积分表示的函数90

3．退化核90

§2．退化核的佛莱特蒙定理91

§3．对任意核的佛莱特蒙定理94

§4．对称核及其本徵值96

1．对称核的本徵值的存在性97

2．本徵函数和本徵值的全体99

3．本徵值的极大-极小性质104

1．展开定理105

§5．展开定理及其应用105

2．非齐次线性积分方程的解107

3．累次核的双线公式108

4．美塞定理109

§6．诺依曼级数和预解核110

§7．绋莱特蒙公式112

§8．积分方程理论的另一推导116

1．一个引理116

2．对称核的本徵函数117

3．非对称核118

4．本徵值和本徵函数对核的连续依赖性118

§9．本理论的推广119

1．问题120

§10．第三章的补充材料和问题120

2．奇异积分方程121

3．依·斯米特关于绋莱特蒙定理的推导121

4．解对称积分方程的恩斯可克法122

5．决定本徵函数的开洛格法123

6．核的形式函数及其本徵值123

7．没有本徵函数的一个非对称核例子123

9．亚贝尔积分方程124

10．属于一非对称核的共轭正交组124

8．伏泰拉积分方程124

11．第一类积分方程125

12．无穷多变数法126

13．本徵函数的极小性126

14．极性积分方程126

15．可对称化的核126

16．由函数方程决定预解核127

17．正(负)定核的连续性127

18．汉姆斯坦定理127

参考文献127

1．函数的极大和极小129

第四章 变分法129

§1．变分法的问题129

2．汎函131

3．变分法的典型问题132

4．变分法特有的困难135

§2．直接解136

1．等周问题136

2．雷莱-里茨方法．极小化敍列136

3．其它直接方法．有限差法．无穷多个变数法138

4．关于变分直接方法的一般讨论142

1．变分法中“最简单的问题”143

§3．欧勒方程143

2．多个未知函数的问题145

3．高阶微商的出现147

4．多个自变数的情形148

5．欧勒微分式之恒等于零150

6．齐次形的欧勒方程152

7．条件的放宽．布阿-雷蒙和哈尔定理154

8．变分问题和函数方程158

§4．欧勒微分方程的积分159

§5．边界条件160

1．自由边界的自然边界条件161

2．几何问题．横交条件163

§6．二级变分及勒上特条件165

§7．带附加条件的变分问题167

1．等周问题167

2．有限附加条件169

3．微分方程作为附加条件170

§8．欧勒方程的不变性171

1．欧勒式作为函数空间的梯度。欧勒式的不变性171

2．△u的变换．球坐标173

3．椭球坐标174

§9．变分问题之变换为正则形和回转形178

1．带附加条件的一般极小问题的变换179

2．最简单的一些变分问题的回转变换180

3．变分问题向正则形的变换184

4．推广185

§10．变分法和数学物理微分方程187

1．一般的讨论187

2．振动的?和振动的杆189

3．膜与板190

§11．互逆二次变分问题194

1．一给定微分方程的变分问题198

§12．补充材料和练习198

2．等周问题的可逆性199

3．圆形光线199

4．弟多问题199

5．空间问题的例199

6．示性曲线及其应用199

7．变动的区域200

8．纳特尔关于不变变分问题的定理．质点力学问题中的积分202

9．重积分的横交条件205

11．静电学中的汤姆生原理206

10．曲面上的欧勒微分式206

12．弹性体的平衡问题．卡斯铁格里阿诺原理207

13．翘曲的变分问题210

参考文献211

第五章 振动和本微值问题213

§1．线性微分方程述引213

1．叠加原理213

2．齐次和非齐次问题．边界条件214

3．形式关系．伴随微分式．格林公式214

4．线性函数方程——线性方程组的类似和极限情形217

§2．有限自由度的系统217

1．简正形振动．简正坐标．运动的普遍理论218

§3．?的振动221

2．振动系统的一般性质221

1．均匀?的自由运动222

2．受追振动224

3．一般的不均匀的?和斯特姆-利欧维本徵值问题225

§4．杆的振动228

§5．膜的振动230

1．关于均匀膜的一般本徵值问题230

2．受迫运动231

4．矩形膜232

3．节线232

5．圆形膜．贝塞函数233

6．不均匀的膜236

§6．板的振动236

1．概述236

2．圆形边界237

§7．关于本徵函数法的一般性问题238

1．振动及平衡问题238

2．热传导及本徵值问题240

§8．三维连续体的振动．分离变数法241

§9．本徵函数和势论中的边值问题242

1．圆、球，球壳243

2．柱形区域245

3．拉美问题245

§10．斯特姆-利欧维型问题．奇异边界点249

1．贝塞函数249

2．任意阶的勒上特函数250

3．雅可比及切比雪夫多项式251

4．赫米特及拉盖尔多项式252

1．当自变数趋向无穷时解的有界性254

§11．斯特姆-利欧维方程的解的渐近行为254

2．更确切一点的结果．(贝塞函数)255

3．当参数增大时的有界性256

4．解的渐近表示257

5．斯特姆-利欧维本徵函数的渐近表示258

§12．具有连续谱的本徵值问题261

1．三角函数261

2．贝塞函数261

3．无穷平面的膜振动方程的本徵值问题261

4．薛汀格本徵值问题262

1．单重本徵值264

§13．微扰理论264

2．重本徵值265

3．微扰理论的一例268

§14．格林函数(影响函数)及化微分方程为积分方程269

1．格林函数及常微分方程的边值问题269

2．格林函数的造出；广义格林函数272

3．微分方程和积分方程的等价274

4．高阶常微分方程277

5．偏微分方程278

1．常微分方程284

§15．格林函数的例284

2．对圆恶化球△u的格林函数288

3．格林函数和保角映像289

4．在球面上的势方程的格林函数289

5．在一直角平行六面体中△u＝0的格林函数290

6．在一矩形内△u的格林函数294

7．圆形环的格林函数296

§16．第五章的补充材料298

1．?振动的例298

2．自由悬挂的绳的振动；贝塞函数299

3．振动方程明显解的例子．马久函数300

4．合有参数的边界条件301

6．方程△u＋λu＝0的解的解析延拓302

5．微分方程组的格林张量302

7．关于△u＋λu＝0的解的节线的定理303

8．无穷重数的本徵值的例303

9．展开定理的有效范围303

参考文献303

第六章 变分法在本微值问题上的应用305

§1．本徽值的极值性质305

1．经典的极值性质305

2．推广308

3．当区域具有分隔组成部分时的本徵值问题310

4．本徵值的极大-极小性质311

§2．由本徽值的极值性质所得的一般结论312

1．一般定理312

2．本徵值的无限增大316

3．斯特姆-利欧维问题中本徵值的渐近性质317

4．奇异微分方程318

5．关于本徵值增大的进一步讨论．负本徵值的出现319

6．本徵值的连续性321

§3．完备性和展开定理325

1．本徵函数的完备性325

2．展开定理327

3．展开定理的推广328

§4．本徵值的渐近分布329

1．在矩形上的方程△u＋λu＝0329

2．在有限多个方形或立方体所作成的区域上的方程△u＋λu＝0331

3．把结果推广于一般的微分方程L[u]＋λρu＝0333

4．对一任意区域本徵值的渐近分布335

4．联属勒上特函数．(高阶勒上特函数)338

5．对微分方程△u＋λu＝0而言本徵值的渐近分布规律较精确的形式340

§5．薛汀格型的本徵值问题341

§6．本徵函数的节346

§7．补充材料和问题349

1．本徵值的极小性质．由完备性所作的推导349

2．用没有节这个形质来刻划第一个本徵函数351

3．本徵值的另外一些极小性质352

4．本徵值的渐近分布352

5．双参数本徵值问题353

6．包含参数的边界条件353

7．闭曲面的本徵值问题353

8．当有奇点出现时本徵值的估计354

9．板和膜的极小定理354

10．变质量分布的极小问题355

11．斯特姆-利欧维问题的节点．极大-极小原理355

参考文献356

第七章 本徵值问题所定义的特殊函数357

§1．线性二阶微分方程的初步讨论357

1．积分变换的应用358

§2．贝塞函数358

2．汉克函数359

3．贝塞函数和诺曼函数361

4．贝塞函数的积分表示式362

5．汉克函数和贝塞函数的另一积分表示式364

6．贝塞函数的幂级数展开370

7．各贝塞函数间的关系372

8．贝塞函数的零点378

9．诺曼函数381

§3．勒上特函数385

1．许肋弗里积分385

2．拉普拉斯的积分表示式386

3．第二类勒上特函数387

§4．应用积分变换方法于勒上特、切比雪夫，赫米特及拉盖尔方程388

1．勒上特函数388

2．切比雪夫函数390

3．赫米特函数390

4．拉盖尔函数391

1．2n＋1个，n-阶球面调和函数的确定392

§5．拉普拉斯球面调和函数392

2．函数组的完备性393

3．展开定理394

4．泊松积分394

5．马克斯威-西尔法斯特的球面调和函数表示式395

§6．渐近展开400

1．斯特林公式401

2．当变量值大时汉克和贝塞函数的渐近计算402

3．马鞍点法404

4．应用马鞍点法计算大参量和大变量的汉克函数和贝塞函数405

6．达布方法409

5．马鞍点法的一般讨论409

7．应用达布方法于勒上特多项式的渐近展开410

§7．第七章附录．球面调和函数的变换411

1．导言及符号411

2．正交变换412

3．球面调和函数的一个母函数414

4．变换公式416

5．直角坐标下的表示式418

附加参考文献420

索引423