《矩阵计算的理论与方法》求取 ⇩

第一章 矩阵知识的复习和补充1

1 主要记号和定义1

2 Schur分解和奇异值分解5

2.1 Schur分解5

2.2 奇异值分解7

3 向量范数和矩阵范数10

3.1 向理范数10

3.2 矩阵范数14

3.3 谱半径和矩阵序列的收敛性18

4 正交投影和子空间之间的距离21

4.1 正交投影21

4.2 子空间之间的距离22

5 非负矩阵27

5.1 基本概念和性质27

5.2 Perron-Frobenius定理30

5.3 非负矩阵的谱35

5.4 Birkhoff定理38

6 有关矩阵特征值的几个重要定理40

6.1 一般方阵的Bauer-Fike定理40

6.2 正规矩阵的Hoffman-Wielandt定理44

6.3 Hermite矩阵的极小极大定理48

习题51

第二章 矩阵计算概论54

1 矩阵计算的基本问题和来源54

1.1 基本问题54

1.2 膜的振动54

1.3 弹性系统的振动58

1.4 多元线性回归分析59

2 病态问题和数值稳定性61

2.1 矩阵计算问题的病态和良态61

2.2 算法的数值稳定性62

3 矩阵计算的基本工具65

3.1 Householder变换65

3.2 Givens变换70

3.3 Gauss变换72

习题74

第三章 线性方程组的直接解法76

1 线性方程组的条件数76

2 基本解法的回顾80

2.1 Gauss消去法81

2.2 Cholesky分解法82

3 对称不定方程组的解法83

4 Vandermonde方程组的解法92

5 Toeplitz方程组的解法97

5.1 Yule-Walker方程组98

5.2 一般右端项的Toeplitz方程组100

5.3 Toeplitz矩阵的逆101

6 条件数的估计和迭代改进104

6.1 条件数的估计104

习题109

6.2 迭代改进109

第四章 线性方程组的迭代解法112

1 迭代法概述112

2 基本迭代法114

3 正定矩阵和某些迭代法的收敛性118

4 H矩阵和某些迭代法的收敛性121

5 多项式加速132

习题139

1 最速下降法142

第五章 共轭梯度法142

2 二次泛函的几何性质145

3 共轭梯度法及其基本性质149

4 实用共轭梯度法及其收敛性157

4.1 实用共轭梯度法157

4.2 收敛性分析158

5 预优共轭梯度法162

6 不完全分解预优技巧168

6.1 松驰不完全LU分解169

6.2 松驰不完全Cholesky分解176

6.3 分块不完全Cholesky分解178

7 求解非正定线性方程组的共轭梯度法181

7.1 正规化方法182

7.2 广义共轭乘余法183

习题187

第六章 最小二乘问题的数值解法190

1 最小二乘解的数学性质190

1.1 最小二乘解的特征190

1.2 最小二乘解的一般表示191

1.3 最小二乘解的扰动分析192

2 求解满秩LS问题的数值方法196

2.1 正规化方法197

2.2 正交化方法197

3 求解亏秩LS问题的数值方法201

3.1 列主元QR分解法201

3.3 数值秩的定义和确定方法206

3.2 奇异值分解法206

4 求解LS问题的迭代法210

4.1 基于正规化方程组的古典迭代法210

4.2 基于等价方程组的SOR和SSOR迭代法211

5 完全最小二乘问题220

习题227

第七章 求解特征值问题的QR方法229

1 特征值和不变子空间的条件数229

1.1 特征值的条件数230

1.2 不变子空间的条件数232

2 双重步位移的QR算法237

2.1 QR算法的基本思想237

2.2 实Schur标准形242

2.3 上Hessenberg化243

2.4 双重步位移的QR迭代248

2.5 双重步位移的QR算法254

3 特征向量和不变子空间的计算256

3.1 特征向量的计算256

3.2 不变子空间的计算261

4 对称QR方法264

5 奇异值分解的计算270

6 分而治之法279

6.1 分割279

6.2 胶合280

习题286

第八章 求解实对称特征值问题的同伦方法288

1 同伦算法概述288

2 同伦的构造和性质291

3 同伦路径的数值追踪296

3.1 预估297

3.2 校正300

3.3 核查301

3.4 同伦算法304

习题306

1 Lanczos迭代及其基本性质307

第九章 Lanczos方法307

2 Kaniel-Paige-Saad理论312

3 Lanczos算法319

4 求解对称线性方程组的Lanczos方法328

5 求解非对称线性方程组的广义极小剩余法335

习题340

第十章 求解Jacobi矩阵特征值反问题的数值方法343

1 基本问题和定性理论343

2.1 Lanczos方法347

2 数值方法347

2.2 正交约化法348

3 相关问题354

3.1 秩1修改问题354

3.2 广对称Jacobi矩阵的特征值反问题355

3.3 对角矩阵与秩1矩阵之和的特征值359

习题360

参考文献363

索引368