《曲线和曲面的微分几何学》

第一章曲线1

1-1 引言1

1-2 参数曲线2

1-3 正则曲线；弧长6

1-4 R？中的向量积11

1-5 以弧长为参数的曲线的局部理论16

1-6 局部规范形式26

1-7 平面曲线的一些整体性质29

第二章正则曲面50

2-1 引言50

2-2 正则曲面；正则值的原像51

2-3 参数变换；曲面上的可微函数68

2-4 切平面；映照的微分81

2-5 第一基本形式；面积89

2-6 曲面的定向99

2-7 紧致定向曲面的一个特征106

2-8 面积的几何定义110

附录 连续性和可微性简述115

第三章Gauss 映照的几何学131

3-1 引言131

3-2 Gauss 映照的定义和基本性质132

3-3 局部坐标中的 Gauss 映照151

3-4 向量场172

3-5 直纹面和极小曲面185

附录 自伴随的线性映照和二次形式211

第四章曲面的内蕴几何学214

4-1 引言214

4-3 等距对应；共形映照215

4-8 Gauss 定理和相容性方程228

4-4 平行移动；测地线234

4-5 Gauss-Bonnet 定理及其应用259

4-6 指数映照；测地极坐标278

4-7 测地线的一些进一步的性质；凸邻域293

附录 曲线和曲面局部理论基本定理的证明304

第五章整体微分几何学310

5-1 引言310

5-2 球面的刚性312

5-3 完备曲面；Hopf-Rinow 定理320

5-4 弧长的第一变分和第二变分；Bonnet 定理333

5-5 Jacobi 场和共轭点351

5-6 覆盖空间；Hadamard 定理365

5-7 曲线的整体性定理；Fary-Milnor 定理384

5-8 Gauss 曲率为零的曲面403

5-9 Jacobi 定理411

5-10 抽象曲面及其进一步推广420

5-11 Hilbert 定理441

附录 欧氏空间的点集拓扑452

文献与评注467

提示与答案470