《高等几何》

第一章欧氏平面上的正交变换和仿射变换1

1 点变换1

1.1 点变换的定义1

1.2 变换的乘积6

1.3 恒等变换与逆变换8

习题?10

2 正交变换10

2.1 正交变换的定义10

2.2 正交变换的代数表示式12

习题二17

3 仿射变换18

3.1 透视仿射对应18

3.2 仿射对应与仿射变换21

3.3 仿射坐标系24

3.4 仿射变换的代数表示式29

3.5 几种特殊的仿射变换36

习题三38

本章小结39

复习思考题40

第二章射影平面42

1 中心射影与无穷远元素42

1.1 中心射影42

1.2 无穷远元素44

2 射影直线和射影平面47

2.1 仿射直线和仿射平面47

2.2 射影直线和射影平面49

2.3 图形的射影性质51

2.4 利用投影到无穷远证明初等几何问题54

习题一56

3 笛沙格(Desargues)定理56

习题二61

4 对偶原则63

4.1 对偶图形64

4.2 对偶命题与对偶原则68

习题三70

5.1 齐次点坐标71

5 齐次点坐标71

5.2 直线的齐次坐标方程74

5.3 齐次点坐标的应用75

习题四85

6 线坐标86

6.1 齐次线坐标87

6.2 非齐次线坐标89

习题五92

7 射影平面的进一步扩充——复元素92

7.1 二维空间的复元素93

7.2 二维共轭复元素94

习题六98

本章小结98

复习思考题100

第三章射影变换和射影坐标102

1 交比与调和比102

1.1 点列的四点的交比与调和比102

1.2 线束的四直线的交比与调和比116

1.3 完全四点形与完全四线形的调和性126

习题一131

2 一维射影变换133

2.1 一维基本形的透视对应133

2.2 一维基本形的射影对应136

2.3 一维射影变换147

习题二150

3 一维基本形的对合151

习题三159

4.1 非奇线性对应160

4 二维射影变换160

4.2 射影对应与非奇线性对应的等价性163

4.3 二维射影变换及其不变元素166

习题四169

5 直线上和平面上的射影坐标系170

5.1 直线上的射影坐标系171

5.2 二维射影坐标系175

习题五179

本章小结180

复习思考题183

第四章二次曲线的射影性质185

1 二次曲线的射影定义185

1.1 二阶曲线与二级曲线185

1.2 二次曲线的射影定义190

1.3 二阶曲线与二级曲线的关系193

习题一203

2 巴斯加(Pascal)定理和布利安桑(Brianchon)定理204

3 极点、极线、配极原则214

习题二214

3.1 极点和极线的定义215

3.2 配极原则220

习题三227

4 二次曲线的射影分类228

4.1 二阶曲线的奇异点228

4.2 二阶曲线的射影分类232

本章小结240

习题四240

复习思考题241

第五章二次曲线的仿射性质243

1 二阶曲线与无穷远直线的相关位置244

2 二阶曲线的中心、直径、渐近线245

2.1 中心245

2.2 直径与共轭直径247

2.3 渐近线254

习题一259

3 二次曲线的仿射分类259

习题二267

本章小结267

复习思考题268

第六章二次曲线的度量性质270

1 圆点和迷向直线270

1.1 圆点和迷向直线的定义270

1.2 圆点和迷向直线的性质273

2 拉蓋尔(Laguerre)定理276

习题一276

习题二280

3 二次曲线的主轴、焦点和准线281

3.1 主轴281

3.2 焦点和准线287

习题三295

4 二次曲线的度量分类295

本章小结297

复习思考题298

第七章变换群与几何学300

1 变换群的概念300

习题一303

2 平面上的几个重要的变换群303

2.1 射影变换群303

2.2 仿射变换群305

2.3 相似变换群307

2.4 正交变换群308

3.1 克莱因(F.Klein)的爱尔兰根(Erlangen)纲领309

3 变换群与几何学309

习题二309

3.2 射影、仿射、欧氏三种几何的比较312

习题三317

本章小结318

复习思考题319

第八章几何基础初步320

1 公理法思想的产生320

1.1 欧几里得的几何原本320

1.2 关于第五公设324

1.3 公理法思想335

2 射影几何的公理体系337

3 希尔伯脱(Hilbert)欧氏几何公理体系341

4 罗氏几何介绍344

4.1 高斯、波约伊和罗巴切夫斯基344

4.2 罗氏平行公理及其推论346

4.3 罗氏平面的模型354

本章小结356

复习思考题356