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第一章函数的极限2

1.函数在无穷远处的极限2

一、问题的引入2

二、极限的描述与定义8

三、函数的无界与无穷大量12

四、依定义求极限之例15

五、几个数列极限的推广19

2.函数∞处极限的等价定义——序列语言25

一、与数列极限的关系25

二、函数极限的等价定义29

三、柯西准则30

3.函数在有限点处的极限31

一、问题的引入31

二、极限的描述与定义37

三、依定义求极限之例46

4.复合函数的极限51

一、复合函数极限52

二、极限在不同处的转化54

三、e 的一般形式55

一、函数极限的等价定义56

5.函数极限的序列语言56

二、柯西准则58

6.函数极限的基本理论59

一、基本性质60

二、极限的四则运算62

三、不等式的极限与夹值定理66

四、一个重要的极限——lim(x→0)sinx/x=167

7.无穷小量71

一、研究无穷小量的重要性71

二、无穷小分析82

三、等价无穷小85

四、无穷小量的主部87

一、直接利用极限定义88

二、运用极限的四则运算92

三、?解因式以消去趋于零的公因式94

四、有理化后约去趋于零的？因式99

五、重要极限 lim(x→0)sinx/x=1的运用101

六、?限 e 的运用104

七、夹值定理的应用110

八、等价无穷小？换114

九、函数连续性的利用118

十、中值定理的应用118

十一、洛彼塔法则118

十二、泰勒级数的利用118

本章小结118

一、基本概念118

二、主要内容120

三、常用方法122

1.《ε-σ》方法122

2.转化法125

习题129

第二章连续函数及其性质134

1.连续与间断的意义134

一、区分连续与间断的重要性134

二、连续与间断的定义142

三、连续与极限的异同147

2.初等函数的连续性148

一、连续函数与四则运算149

二、单调函数的连续之判定149

三、几类初等函数的连续性154

四、复合函数的连续性155

3.间断的类型及其例159

一、可去间断点159

二、广义可去间断点(无穷间断点)160

三、单方连续的间断点——跳跃性的间断点163

四、无任何极限的间断点——振荡间断点166

五、杂例167

4.连续函数的性质175

一、收敛子数列的存在性175

二、连续函数的基本性质Ⅰ——有界性176

三、连续函数的基本性质Ⅱ——确界可达性181

四、连续函数的基本性质Ⅲ——介值性186

5.应用191

一、根的存在与唯一191

二、拉格尔定理195

三、二分法——根的琢次逼近法之一200

四、一维的不动点原理202

根的逐次逼近法之二208

五、媒介作用213

六、反函数的连续性218

本章小结220

一、基本概念220

二、主要内容与体系221

三、常用方法——归谬法与举反例222

1.归谬法222

2.举反例226

1)找特殊、走极端227

2)利用直观236

3)借鉴和改造242

习题244

第三章一致性250

1.函数的一致连续250

一、问题的引入250

二、一致连续的定义254

三、一致连续的性质258

四、一致连续的判定260

2.函数列的一致收敛265

一、问题的引入265

二、一致收敛的定义269

三、一致收敛的性质271

四、一次收敛的判定282

3.函数列的一致有界288

一、问题的引入288

二、一致有界的定义289

三、一致有界的性质289

4.普遍的一致性296

一、记号与术语296

5.等度连续性298

一、问题的引入298

二、一致性的普遍定义298

二、等度连续的性质299

三、阿采拉 Arzela 定理——收敛子函数列的存在定理304

本章小结307

一、基本概念307

二、主要内容与体系308

三、常用方法308

1.抽象化309

2.构造性证法311

ⅰ)逐步逼近312

ⅱ)几何启示313

习题315

第四章导数及其应用320

1.导数的意义320

一、导数的来源320

二、瞬变与均变326

三、导数的定义329

四、几何意义332

五、导数的基本性质333

六、几个基本初等函数的导数334

2.求导法则337

一、复合函数的导数338

二、导数的四则运算340

三、初等函数的导数342

四、运用求导法则的几点注意347

五、隐函数的求导法则351

六、高阶导数的求法354

3.不可导的类型及其例360

一、有单边导数的情况361

二、无单边导数的情形366

三、导数存在但导函数不连续369

四、孤立可导点376

4.处处不可导的连续函数378

一、构造的思路和步骤378

二、意义与简史385

5.单调性与不等式393

一、函数的单调性394

二、一元不等式396

三、二元不等式401

四、多元(三元以上)不等式412

一、凸函数的引入415

6.凸性与密切圆415

二、凸函数的定义418

三、凸函数的判定421

四、琴生不等式及其应用425

五、曲率与密切圆429

7.极值问题437

一、研究极值的重要性437

二、极值的意义439

三、极值的判定442

五、应用之例445

四、极值和最大、最小的求法445

8.洛彼塔法则Ⅰ470

9.导数在代数中的应用473

一、求和问题473

二、切线法(牛顿法)——根的逐步逼近法之三479

三、根的判定481

本章小结484

一、基本概念484

二、主要内容和体系486

三、常用方法486

1.分解法487

2.降维法492

ⅰ)变量代换495

ⅱ)权把变量当常量496

习题499

第五章微分、中值定理和泰勒公式510

1.微分510

一、微分的引入510

二、微分与导数的关系513

三、微分法则514

四、参数方程的求导法则515

五、微分在近似计算中的作用519

2.拉格朗日中值定理521

一、中值定理的导出521

二、罗尔定理523

三、中值定理的改进——拉格朗日中值定理530

四、柯西中值定理532

五、柯西中值定理的应用534

六、柯西中值定理的推广538

七、三点附注539

3.中值定理的应用541

一、导数恒为零的函数必为常量542

二、单调性的判定与不等式的证明544

三、在求极限中的应用548

四、在级数中的应用555

4.洛彼塔法则564

一、洛彼塔法则2——不定式“0/0”的解法564

二、洛彼塔法则1、2的比较566

三、一点技巧569

四、洛彼塔法则3——“∞/∞”的定值法573

五、其他不定式的求法581

六、局限性585

七、重根的中值定理588

5.泰勒公式591

一、问题的引入591

二、泰勒公式的导出592

三、泰勒级数594

四、∞Σ(n=0)？(x-a)？与泰勒级数的异同596

五、初等函数的展开之一598

六、欧拉公式603

二、与三角函数的异同605

6.双曲函数605

一、双曲函数的引入605

三、面积角——角的概念之推广607

四、双曲函数的几何意义613

五、双曲函数的展开614

7.对数函数及二项式展开614

一、柯西型余项614

二、对数函数的展开618

三、二项式展开619

8.泰勒公式和泰勒级数的应用630

一、极值存在的充要条件631

二、泰勒级数与高阶导数的求法632

三、利用泰勒公式求极限633

四、根的近似求法与误差估算637

9.多项式的一致逼近649

一、问题的引入649

二、多项式的一致逼近651

三、伯恩斯坦多项式656

一、基本概念657

本章小结657

二、主要内容与体系659

三、常用方法660

1.特殊化660

(1)特殊化的意义660

(2)特殊化与举反例661

(3)特殊化运用之例662

(4)特殊化的功效670

(5)沟通普遍与特殊的手段671

(2)作用和引法672

2.辅助函数的引法672

(1)意义672

习题681

第六章函数项级数689

1.研究函数项级数的必要性689

一、数项级数的普遍化689

二、泰勒展开的捷径692

三、构造函数的工具693

一、敛散性的定义694

2.敛散性694

二、敛散判别法695

3.与函数列的关系697

4.一致收敛性699

一、一致收敛的重要性699

二、一致收敛的定义700

三、一致收敛的判别法701

四、几点附注703

五、阿贝尔变换707

六、阿贝尔判别法709

七、二项式展开的一致收敛性711

5.级数和的连续性712

一、级数和的连续性712

二、二项式展开的补遗713

三、逐项取极限713

6.级数和的导数714

一、逐项求导714

二、改进716

三、应用之例718

一、幂级数的意义722

7.幂级数722

二、幂级数的特性723

三、收敛域的类型725

四、类型的异同726

五、类型的判定和半径的确定727

8.幂级数的可导性与泰勒展开728

一、幂级数的一致收敛性729

二、幂级数的连续性730

三、幂级数的导数731

四、幂级数的泰勒展开736

五、幂级数的唯一性737

六、反正弦、反余弦的展开738

七、反正切、反余切的展开741

9.幂级数的四则运算与泰勒展开744

一、级数的和、差745

二、累级数的可换性746

三、级数的乘积750

四、级数的倒数753

五、级数的商754

六、正、余割的展开755

七、正、余切的展开756

10.级数的求和757

一、直接求和法758

(1)表出 Su758

(2)找出 Su 所满足的方程759

(3)两边夹761

二、幂级数法768

(1)逐项求导769

(2)分解化简772

(3)组合消元779

一、基本概念781

本章小结781

二、本章体系一览表783

三、常用方法784

1 组合法785

(1)组合与分解785

(2)组合的手段786

ⅰ)精选典型、集腋成裘787

ⅱ)寻联系、觅规律，组合本天成789

ⅲ)着意搭配、组成反例792

ⅳ)重新巧安排、旧貌换新颜793

ⅴ)分合相济、各显神通798

2 普遍化801

(1)与特殊化的比较801

(2)普遍化的意义804

(3)普遍化的功效805

ⅰ)适用面广805

ⅱ)加深认识806

(4)普遍化应用的范围806

习题807