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第一章 向量空间与空间解析几何1

§1．向量及其运算1

习题1-15

§2．向量组的线性相关性5

一、向量组的线性相关与线性无关5

二、向量组的最大无关组10

习题1-211

一、向量空间及向量空间的基和维数12

§3．向量空间、向量的内积12

二、向量的内积14

三、向量的正交规范基15

习题1-318

§4．三维空间的直角坐标系及向量18

一、空间直角坐标系19

§5．平面及其方程20

二、空间两点间的距离21

三、数量积、向量积22

习题1-429

一、平面的点法式方程30

二、平面的一般方程31

三、两平面的夹角33

习题1-535

§6．空间直线及其方程35

一、空间直线的一般方程35

二、空间直线的对称式方程与参数方程36

三、两直线的夹角39

四、直线与平面的夹角39

习题1-642

§7．曲面和空间曲线42

一、曲面及其方程42

二、空间曲线及其方程46

三、二次曲面49

习题1-753

一、n阶行列式54

§1．行列式54

第二章 矩阵与线性方程组54

二、行列式的性质56

三、克莱姆法则61

习题2-162

§2．矩阵及运算63

一、矩阵的定义63

二、矩阵的代数运算65

三、矩阵的秩67

四、矩阵的逆68

习题2-270

§3．矩阵的初等变换71

一、矩阵的初等行变换71

二、用初等行变换求矩阵的秩72

三、初等矩阵73

四、用初等行变换求逆矩阵75

五、矩阵的初等列变换76

六、矩阵与向量组77

习题2-382

§4．矩阵的分块83

一、分块矩阵的定义83

二、分块矩阵的加法83

三、分块矩阵的乘法84

四、准对角矩阵86

习题2-488

§5．线性方程组89

一、高斯消元法89

二、线性方程组的相容性定理94

三、线性方程组解的结构95

习题2-597

第三章 多元函数微分学99

§1．多元函数的概念99

一、区域99

二、二元函数的概念101

三、二元函数的几何表示102

一、二元函数的极限103

习题3-1103

§2．多元函数的极限与连续性103

二、二元函数的连续性105

习题3-2106

§3．多元函数的导数107

一、多元函数的变化率107

二、偏导数的定义108

三、偏导数的几何意义110

四、方向导数111

习题3-3112

§4．多元函数的微分113

一、全微分113

二、全微分的运算法则116

三、方向导数的计算116

习题3-4118

§5．多元复合函数的导数118

一、链导法则118

二、全微分的形式不变性121

习题3-5122

§6．隐函数的导数123

一、一个方程的情形123

二、方程组的情形125

习题3-6127

§7．高阶偏导数及泰勒公式128

一、高阶偏导数128

三、多元泰勒公式132

二、高阶微分132

习题3-7135

第四章 多元函数微分学的应用136

§1．曲线的切线和法平面方程136

习题4-1139

§2．曲面的切平面和法线方程139

一、曲面的切平面与法线139

二、二函数全微分的几何意义143

习题4-2143

§3．平面曲线族的包络144

习题4-3148

§4、二次型148

一、二次型的概念148

二、二次型相对称矩阵的有定性151

习题4-4152

§5．多元函数的极值153

一、极值153

二、最大值和最小值155

三、条件极值158

习题4-5162

第五章 多元函数积分学163

§1．R″(n≤3)中的黎曼积分163

—、R″(n≤3)中的一类数学模型163

二、黎曼积分的概念167

二、黎曼积分的性质169

习题5-1173

一、直角坐际系下的二重积分174

§2．二重积分的计算174

二、二重积分的换元法180

三、利用极坐标计算二重积分184

习题5-2186

§3．二重积分的计算188

一、直角坐标系下的二重积分188

二、三重积分的换元法192

三、柱面坐标系下的三重积分194

四、球面坐标系—F的三重积分196

习题5-3199

§4．广义重积分200

一、无界区域上的二重积分200

二、含瑕点的二重积分203

习题5-4204

§5．对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分的计算204

一、对弧长的曲线积分的计算204

二、对面积的曲面积分的计算207

习题5-5212

§6．多元函数积分学在几何和物理中的应用213

一、面积214

二、体积221

三、弧长225

四、质量227

五、重心229

习题5-6232

一、向量函数234

§1．向量函数的极限和连续性234

第六章 向量函数及场论234

二、向量函数的极限235

三、向量函数的连续性236

四、终端曲线和曲面236

习题6-1238

§2．向量函数的导数和积分238

一、向量函数的导数和偏导数238

二、向量函数的微分241

三、一元向量函数的定积分244

习题6-2245

§3．向量函数的曲线积分246

一、对坐际的曲线积分246

二、对坐际的曲线积分的计算249

三、对坐标的曲线积分与对弧长的曲线积分之间的联系253

习题6-3254

§4．格林公式255

一、格林公式255

二、平面曲线积分与路径无关的条件259

三、原函数与全微分方程264

习题6-4267

§5．向量函数的曲面积分269

一、有向曲面269

二、对坐际的曲面积分270

三、对坐标曲面积分的计算271

四、两类曲面积分之间的联系275

习题6-5276

一、高斯公式277

§6．高斯公式与斯托克斯公式277

二、斯托克斯公式281

习题6-6285

§7．数量场及其物理量286

一、数量场286

二、数量场的梯度287

习题6-7289

§8．向量场及其物理量289

一、向量场289

二、通量与散度291

三、环量与旋度294

四、几种重要的向量场296

习题6-8298

第七章 多元函数的微积分(续)300

§1．n元函数的概念300

一、n维空间R″300

二、n元函数的定义301

三、n元函数的极限和连续性302

习题7-1304

§2．n元函数的导数和微分304

一、n元函数的偏导数304

二、n元函数的全微分305

三、复合函数的微分法307

习题7-2309

§3．n重积分309

一、n重积分的概念309

二、n重积分的计算310

习题7-3312

§4．n元函数微积分的应用312

一、n元函数的极值312

二、n元函数的最大值、最小值313

三、拉格朗日乘数法314

四、n重积分求“体积”317

习题7-4318

二、线性变换关于给定基的矩阵320

一、线性变换的定义320

第八章 线性变换与二次型320

§1．线性变换320

三、线性变换的运算322

四、线性变换在新基下的矩阵324

习题8-1326

§2．特征值与特征向量327

一、矩阵的特征值与特征向量327

二、线性变换的特征值与特征向量329

习题8-2330

§3．n元二次型的标准化331

一、二次型及其标准形331

二、用正交变换化二次型为标准形332

三、二次型和实对称矩阵的有定性339

习题8-3341

第九章 含参变量的积分342

§1．含参变量的积分342

习题9-1348

§2．含参变量的广义积分349

习题9-2354

§3．г函数和в函数355

一、г函数355

二、в函数358

习题9-3360

§4．傅里叶级数361

一、周期为2π的函数的傅里叶级数展开361

二、函数的周期性延拓367

三、周期为T的函数的傅里叶级数展开370

习题9-4372

§5．傅里叶变换373

一、傅里叶积分373

二、傅里叶变换376

三、单位脉冲函数378

四、傅里叶变换的性质380

习题9-5382

§6．拉普拉斯变换383

一、拉普拉斯变换的定义384

二，拉普拉斯变换的性质388

二、拉普拉斯逆变换的求法391

四、常微分方程的拉普拉斯变换解法393

习题9-6395

第十章 偏微分方程397

§1．基本概念和方程的导出397

一、几个典型方程的导出397

二、偏微分方程的基本概念及其分类400

三、方程的定解条件402

习题10-1403

§2．分离变量法404

一、弦振动方程的混合问题404

二、一维热传导方程的混合问题408

三、非齐次边界条件409

四、非齐次方程(齐次边界条件)410

习题10-2411

§3．积分变换法412

一、傅里叶变换在解定解问题中的应用412

二、拉普拉斯变换在解定解问题中的应用415

习题10-3416

§4．达朗贝尔公式417

一、特征方程和特征线417

二、无界弦的自由振动、达朗贝尔公式418

三、半无界弦的自由振动、对称延拓法419

四、无界弦的强迫振动、齐次化原理420

习题10-4421

§5．格林函数422

一、格林公式与基本解422

二、格林函数425

习题10-5427

附录1 Fourier变换简表428

附录2 Laplace变换简表431

习题答案434