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目录1

引论1

第一部分 历史导言1

Ⅰ1.1 微积分的两个基本概念1

Ⅰ1.2 历史背景3

Ⅰ1.3 关于抛物三角形面积的穷竭法4

Ⅰ1.4 习题10

Ⅰ1.5 阿基米德方法的严格分析10

Ⅰ1.6 本书使用的微积分的研究方法13

第二部分 集合论的一些基本概念15

Ⅰ2.1 集合论导言15

Ⅰ2.2 用于集合的记号16

Ⅰ2.3 子集17

Ⅰ2.4 并，交，余18

Ⅰ2.5 习题20

第三部分 关于实数系的一组公理22

Ⅰ3.1 导言22

Ⅰ3.2 域公理23

Ⅰ3.3 习题26

Ⅰ3.4 次序公理26

Ⅰ3.5 习题28

Ⅰ3.6 整数和有理数29

Ⅰ3.7 实数作为直线上的点的几何解释30

Ⅰ3.8 集合的上界，最大元，最小上界（上确界）31

Ⅰ3.9 最小上界公理（完备性公理）33

Ⅰ3.10 实数系的阿基米德性质35

Ⅰ3.11 上确界和下确界的基本性质36

Ⅰ3.12 习题38

Ⅰ3.13 非负实数平方根的存在39

Ⅰ3.14 高阶根·有理幂40

Ⅰ3.15 实数的十进制小数表示法41

第四部分 数学归纳法，求和记号和有关课题44

Ⅰ4.1 用数学归纳法证明的一个例子44

Ⅰ4.2 数学归纳法原理46

Ⅰ4.3 良序原则47

Ⅰ4.4 习题48

Ⅰ4.5 良序原则的证明51

Ⅰ4.6 求和记号51

Ⅰ4.7 习题54

Ⅰ4.8 绝对值和三角不等式56

Ⅰ4.9 习题59

Ⅰ4.10 用到归纳法的杂题60

第一章 积分学概念65

1.1 解析几何的基本概念65

1.2 函数．直观描述和一些例子67

1.3 函数．作为有序偶集合的形式定义71

1.4 实函数的另外例子73

1.5 习题73

1.6 面积作为集函数的概念77

1.7 习题81

1.8 区间和纵标集81

1.9 划分和阶梯函数83

1.10 阶梯函数的和与积84

1.11 习题85

1.12 关于阶梯函数的积分的定义87

1.13 阶梯函数积分的性质89

1.14 关于积分的其它记号93

1.15 习题93

1.16 更一般函数的积分96

1.17 上积分和下积分99

1.18 表示为积分的纵标集的面积100

1.19 积分理论和积分技巧的非正式评注101

1.20 单调函数与分段单调函数，定义和例子101

1.21 有界单调函数的可积性103

1.22 有界单调函数积分的计算105

1.23 当p为正整数时，积分？xpdx的计算106

1.24 积分的基本性质107

1.25 多项式的积分108

1.26 习题110

1.27 积分基本性质的证明112

第二章 积分的若干应用117

2.1 导言117

2.2 将两曲线图形之间的区域的面积表示为积分117

2.3 计算一些例子119

2.4 习题123

2.5 三角函数125

2.6 正弦和余弦的积分公式129

2.7 正弦函数和余弦函数的几何描述135

2.8 习题140

2.9 极坐标144

2.10 在极坐标中面积的积分145

2.11 习题147

2.12 应用积分计算体积148

2.13 习题153

2.14 积分应用于功的概念154

2.15 习题156

2.16 函数的中值157

2.17 习题160

2.18 积分作为上限的函数．不定积分161

2.19 习题166

第三章 连续函数169

3.1 连续性的非形式描述169

3.2 函数极限的定义170

3.3 函数连续性的定义175

3.4 基本极限定理．连续函数的其他例子176

3.5 基本极限定理的证明182

3.6 习题184

3.7 复合函数与连续性187

3.8 习题189

3.9 连续函数的波尔察诺定理191

3.10 连续函数的介值定理193

3.11 习题194

3.12 反演法195

3.13 经过反演保持不变的函数性质197

3.14 分段单调函数的反函数199

3.15 习题200

3.16 连续函数的极值定理201

3.17 连续函数的小间距定理（一致连续性）203

3.18 连续函数的可积性定理205

3.19 连续函数积分的平均值定理206

3.20 习题208

第四章 微分学209

4.1 历史导言209

4.2 一个涉及速度的问题210

4.3 函数的导数213

4.4 导数的例子215

4.5 导数的代数运算218

4.6 习题223

4.7 导数作为斜率的几何解释225

4.8 导数的其它记号228

4.9 习题231

4.10 关于微分复合函数的链式法则233

4.11 链式法则的应用．相关变率和隐微分法235

4.12 习题239

4.13 微分法应用于函数的极值242

4.14 导数的平均值定理244

4.15 习题248

4.16 平均值定理在函数几何性质上的应用249

4.17 极值的二阶导数检验法251

4.18 画曲线的草图252

4.19 习题255

4.20 解决极值问题的例子255

4.21 习题259

4.22 偏导数261

4.23 习题267

第五章 积分法和微分法之间的关系269

5.1 不定积分的导数．微积分学第一基本定理269

5.3 原函数和微积分学第二基本定理272

5.2 零导数定理272

5.4 由导数的性质导出的函数的性质275

5.5 习题276

5.6 关于原函数的莱布尼兹记号279

5.7 代换积分法281

5.8 习题287

5.9 分部积分法288

5.10 习题291

5.11 复习杂题294

第六章 对数、指数和反三角函数298

6.1 导言298

6.2 用积分定义自然对数的导因299

6.3 对数的定义．基本性质302

6.4 自然对数的图形303

6.5 函数方程L（ab）＝L（a）＋L（b）的推论304

6.6 以任何正数b？1为底的对数305

6.7 含有对数的微分和积分公式307

6.8 对数微分法310

6.9 习题311

6.10 对数的多项式逼近法313

6.11 习题317

6.12 指数函数318

6.13 用e的幂表示指数320

6.14 x为任意实数时ex的定义321

6.15 a＞0和x是实数时ax的定义321

6.16 涉及指数的微分和积分公式322

6.17 习题325

6.18 双曲函数328

6.19 习题329

6.20 反函数的导数330

6.21 三角函数的反函数331

6.22 习题336

6.23 部分分式积分法338

6.24 某些可以变换成为有理函数积分的积分347

6.25 习题351

6.26 复习杂题352

第七章 函数的多项式逼近357

7.1 导言357

7.2 由函数产生的泰勒多项式358

7.3 泰勒多项式的计算361

7.4 习题364

7.5 带余项的泰勒公式365

7.6 泰勒公式的误差估计367

7.7 泰勒公式余项的其它形式372

7.8 习题374

7.9 关于泰勒公式误差的进一步评注．o-记号375

7.10 应用于不定式380

7.11 习题382

7.12 关于不定式0/0的洛毕达法则383

7.13 习题388

7.14 符号+∞和-∞．洛毕达法则的推广390

7.15 无穷极限392

7.16 logx和ex在x很大时的性态394

7.17 习题397

第八章 微分方程初步400

8.1 导言400

8.2 术语和记号401

8.3 对于指数函数的一阶微分方程403

8.4 一阶线性微分方程404

8.5 习题408

8.6 引出一阶线性微分方程的某些物理问题410

8.7 习题417

8.8 二阶常系数线性方程421

8.9 方程y″＋by＝0的解的存在性422

8.10 简化一般方程为特殊方程y″＋by＝0423

8.11 方程y″＋by＝0的唯一性定理424

8.12 方程y″＋by＝0的完整解426

8.13 方程y″＋ay′＋by＝0的完整解427

8.14 习题429

8.15 二阶常系数非齐次线性方程430

8.16 确定非齐次方程y″＋ay′＋by＝R特解的特殊方法434

8.17 习题436

8.18 导出常系数二阶线性方程的物理问题的例子437

8.19 习题443

8.20 关于非线性微分方程的评注444

8.21 积分曲线和方向场446

8.22 习题450

8.23 一阶可分离方程450

8.24 习题453

8.25 齐次一阶方程453

8.26 习题457

8.27 导出一阶方程的一些几何问题和物理问题457

8.28 复习杂题462

习题答案466