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第一篇 微积分1

第一章 函数与极限1

1.1 函数1

1.1.1 区间1

1.1.2 函数2

1.1.3 函数的几种特性4

1.1.4 复合函数 初等函数5

习题1.16

1.2 数列的极限7

1.2.1 极限法7

1.2.2 数列8

1.2.3 数列的极限9

习题1.210

1.3 函数的极限11

1.3.1 自变量趋向有限值时函数的极限11

1.3.2 自变量趋向无穷大时函数的极限13

习题1.313

1.4 无穷小量与无穷大量14

1.4.1 无穷小量14

1.4.2 无穷大量15

1.4.3 无穷小量与无穷大量的关系15

习题1.416

1.5 极限的运算法则16

习题1.519

1.6 两个重要极限20

1.6.1 第一个重要极限?sinx/x=120

1.6.2 第二个重要极限?(1+1/x)x=e21

习题1.623

1.7 无穷小的比较24

习题1.726

1.8 函数的连续性与间断点26

1.8.1 函数的连续性26

1.8.2 函数的间断点28

习题1.830

1.9 初等函数的连续性30

1.9.1 连续函数的运算30

1.9.2 初等函数的连续性31

习题1.932

1.10 闭区间上连续函数的性质33

习题1.1034

第二章 导数与微分35

2.1 导数的概念35

2.1.1 引例35

2.1.2 导数的概念36

2.1.3 导数的几何意义39

2.1.4 可导与连续的关系39

习题2.140

2.2 函数的求导法则41

2.2.1 导数的和、差、积、商的求导法则41

2.2.2 反函数的求导法则42

2.2.3 复合函数的求导法则43

习题2.245

2.3 高阶导数46

习题2.347

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数48

2.4.1 隐函数的导数48

2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数49

习题2.450

2.5 函数的微分51

2.5.1 微分的概念51

2.5.2 微分的几何意义53

2.5.3 基本初等函数的微分公式及其微分运算法则53

习题2.554

2.6 微分在近似计算中的应用55

习题2.656

第三章 中值定理与导数的应用57

3.1 中值定理57

3.1.1 罗尔定理57

3.1.2 拉格朗日中值定理57

3.1.3 柯西中值定理58

习题3.159

3.2 罗彼塔法则60

习题3.263

3.3 函数的单调性和极值的判别法63

3.3.1 函数单调性的判别法63

3.3.2 函数的极值及其求法65

习题3.368

3.4 曲线的凹凸与拐点69

习题3.471

3.5 函数图形的描绘71

习题3.573

3.6 最大值、最小值问题73

习题3.675

3.7 曲率75

3.7.1 弧微分76

3.7.2 曲率及其计算公式76

3.7.3 曲率圆与曲率半径78

习题3.779

第四章 不定积分80

4.1 不定积分的概念与性质80

4.1.1 原函数与不定积分的概念80

4.1.2 基本积分表81

4.1.3 不定积分的性质82

习题4.183

4.2 不定积分的换元积分法84

4.2.1 第一换元法84

4.2.2 第二换元法87

习题4.290

4.3 不定积分的分部积分法92

习题4.394

4.4 简单有理函数的积分95

4.4.1 有理函数的积分95

4.4.2 三角函数有理式的积分96

习题4.497

4.5 积分表的使用98

4.5.1 直接查积分表98

4.5.2 先进行变量代换,再查表98

4.5.3 用递推公式99

习题4.599

第五章 定 积 分101

5.1 定积分的概念与性质101

5.1.1 引例101

5.1.2 定积分的概念103

5.1.3 定积分的几何意义104

5.1.4 定积分的性质104

习题5.1105

5.2 微积分基本公式106

5.2.1 变上限函数及导数106

5.2.2 牛顿-莱布尼兹公式107

习题5.2109

5.3 定积分的换元积分法和分部积分法110

5.3.1 定积分的换元积分法110

5.3.2 定积分的分部积分法112

习题5.3113

5.4 广义积分114

5.4.1 无穷区间的广义积分114

5.4.2 无界函数的广义积分116

习题5.4117

第六章 定积分的应用119

6.1 定积分的元素法119

6.2 平面图形的面积120

6.2.1 直角坐标情形120

6.2.2 极坐标情形121

习题6.2122

6.3 体积 平面曲线的弧长124

6.3.1 平行截面面积为已知的立体体积124

6.3.2 旋转体体积125

6.3.3 平面曲线的弧长127

习题6.3128

6.4 定积分的近似计算129

6.4.1 矩形法129

6.4.2 梯形法130

习题6.4130

第七章 常微分方程131

7.1 微分方程的基本概念131

习题7.1132

7.2 可分离变量的微分方程 齐次方程133

7.2.1 可分离变量的微分方程133

7.2.2 齐次方程135

习题7.2136

7.3 一阶线性微分方程137

习题7.3139

7.4 二阶常系数齐次线性微分方程140

习题7.4143

7.5 二阶常系数非齐次线性微分方程144

7.5.1 f(X)=eλXPm(x)型144

7.5.2 f(x)=eλx[Pl(x)cos wx+Pn(x)sin wx]型146

习题7.5147

第八章 无穷级数148

8.1 常数项级数的概念和性质148

8.1.1 常数项级数的概念148

8.1.2 无穷级数的基本性质150

8.1.3 级数收敛的必要条件150

习题8.1152

8.2 常数项级数的审敛法152

8.2.1 正项级数及其审敛法152

8.2.2 交错级数及其审敛法156

8.2.3 绝对收敛与条件收敛157

习题8.2158

8.3 幂级数159

8.3.1 函数项级数的一般概念159

8.3.2 幂级数及其收敛区间160

8.3.3 幂级数的运算162

习题8.3164

8.4 函数展开成幂级数164

8.4.1 泰勒(Taylor)级数164

8.4.2 函数展开成幂级数165

习题8.4169

8.5 傅立叶级数169

8.5.1 三角函数系的正交性 三角级数169

8.5.2 周期为2π的周期函数展开成傅立叶级数170

8.5.3 奇函数和偶函数的傅立叶级数174

习题8.5175

8.6 定义在有限区间上的函数展开成傅立叶级数175

8.6.1 f(x)只在[-π,π]上有定义175

8.6.2 f(x)在只[0,π]上有定义177

习题8.6178

8.7 以2l为周期的周期函数的傅立叶级数178

习题8.7180

第九章 多元函数微分法182

9.1 空间解析几何简介182

9.1.1 空间直角坐标系182

9.1.2 空间两点的距离公式183

9.1.3 曲面与方程183

9.1.4 常见的二次曲面及其方程184

习题9.1187

9.2 多元函数、极限和连续188

9.2.1 多元函数的概念188

9.2.2 二元函数的极限189

9.2.3 二元函数的连续性190

习题9.2191

9.3 偏导数192

9.3.1 偏导数的概念192

9.3.2 偏导数的几何意义192

9.3.3 偏导数的计算193

9.3.4 高阶偏导数194

习题9.3195

9.4 全微分195

习题9.4197

9.5 多元复合函数求导法则和隐函数求导公式197

9.5.1 多元复合函数求导法则197

9.5.2 隐函数的求导公式199

习题9.5200

9.6 多元函数的极值201

9.6.1 二元函数的极值201

9.6.2 二元函数的最大值和最小值202

习题9.6203

第二篇 工程数学204

第一部分 积分变换204

第十章 傅立叶变换与拉普拉斯变换204

10.1 傅立叶变换204

10.1.1 傅立叶积分公式204

10.1.2 傅立叶变换206

10.1.3 谱分析207

10.1.4 卷积210

习题10.1211

10.2 拉普拉斯变换211

10.2.1 拉普拉斯变换211

10.2.2 拉普拉斯变换的性质213

10.2.3 拉普拉斯逆变换216

10.2.4 拉普拉斯变换的应用216

习题10.2219

第二部分 线性代数222

第十一章 行列式222

11.1 二阶、三阶行列式与n阶行列式222

11.1.1 二阶、三阶行列式222

11.1.2 n阶行列式225

习题11.1227

11.2 行列式的性质228

习题11.2232

11.3 克莱姆法则233

习题11.3235

第十二章 矩阵与线性方程组237

12.1 矩阵的概念与运算237

12.1.1 矩阵的概念237

12.1.2 矩阵的运算237

12.1.3 矩阵的转置240

12.1.4 方阵的行列式241

习题12.1242

12.2 逆矩阵243

习题12.2247

12.3 矩阵的秩与初等变换247

12.3.1 矩阵的秩247

12.3.2 矩阵的初等变换248

习题12.3252

12.4 用初等变换求逆矩阵252

习题12.4255

12.5 用初等变换求解线性方程组255

12.5.1 线性方程组有解判别定理256

12.5.2 齐次线性方程组有解判别定理259

习题12.5260

第三部分 概率论261

第十三章 随机事件及其概率261

13.1 随机事件261

13.1.1 随机试验与随机事件261

13.1.2 基本事件与样本空间262

13.1.3 事件的关系与运算262

习题13.1264

13.2 概率的统计定义 古典概型265

13.2.1 概率的统计定义265

13.2.2 古典概型266

习题13.2267

13.3 概率的加法公式268

13.3.1 互斥事件概率的加法公式268

13.3.2 任意事件概率的加法公式269

习题13.3270

13.4 条件概率 乘法公式271

13.4.1 条件概率271

13.4.2 乘法公式272

13.4.3 事件的独立性274

习题13.4275

13.5 全概率公式与贝叶斯公式275

13.5.1 全概率公式275

13.5.2 贝叶斯公式277

习题13.5279

13.6 贝努利概型279

习题13.6281

第十四章 随机变量与概率分布282

14.1 随机变量282

14.1.1 随机变量282

14.1.2 分布函数282

习题14.1284

14.2 离散型随机变量284

14.2.1 离散型随机变量的分布密度284

14.2.2 几种常见的概率分布密度285

习题14.2288

14.3 连续型随机变量289

14.3.1 连续型随机变量的概率密度289

14.3.2 几种常见的连续型随机变量290

习题14.3292

14.4 正态分布293

14.4.1 正态分布的定义及其性质293

14.4.2 标准正态分布的概率计算294

14.4.3 一般正态分布的概率计算295

习题14.4296

14.5 随机变量函数的分布296

14.5.1 离散型随机变量函数的分布297

14.5.2 连续型随机变量函数的分布298

习题14.5299

14.6 数学期望300

14.6.1 数学期望的概念300

14.6.2 随机变量函数的数学期望303

14.6.3 数学期望的性质304

习题14.6304

14.7 方差305

14.7.1 方差的概念305

14.7.2 方差的计算305

14.7.3 方差的性质307

14.7.4 常见分布的数字特征308

习题14.7309

附录1 积分表310

附录2 傅立叶变换简表320

附录3 拉普拉斯变换简表324

附录4 泊松分布P(ζ=k)=λk/k!e-λ数值表326

附录5 标准正态分布表Ф(x)=?dt328

附录6 《微积分与工程数学》教学大纲329

习题答案332

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